1rabinovich_s_g_pogreshnosti_izmereniy

Остаточный член можно уменьшить, если в разложении в ряд Тейлора сохранить еще один член. В этом случае вместо (6-13) получим (для т аргументов):

~

~

f (A1

,..., Am )= f (A1,..., Am )+

æ

¶

¶

ö

ç

÷

¶A ζ1

+...+ ¶A

+ ç

ζ m ÷ f (A1,..., Am )+

è

1

m

ø

1

æ

¶

¶

ö2

(A1,..., Am )+ R3 ,

(6-16)

ç

÷

+

2

ç

¶A

ζ1 +...+ ¶A

ζ m ÷

f

è

1

m

ø

1

æ

¶

ζ1

¶

ö3

R3 =

ç

+...+

÷

´

¶A

¶A

1×2×3ç

ζ m ÷

è

1

m

ø

´ f (A1 +ν1ζ1,..., Am +ν mζ m ).

(6-17)

Поскольку ζi — центрированные

случайные

величины и

Dζi ¹ 0 , то

математическое ожидание квадратичного члена отлично от нуля:

é

1

æ

¶

¶

ö2

ù

M ê

ç

ζ

+...+

ζ

÷

f (A ,..., A )ú

=

2

¶A

ê

ç ¶A

1

m ÷

1

m ú

ë

è

1

m

ø

û

é

1

m

¶

2

m

¶

2

f

ù

= M ê

å

f

ζ i2 +

å

ζ l

ζ k ú =

2

ë

2 i=1

¶A i

l¹k

¶Al ¶Ak

û

1

m æ

¶

2

f

ö

m

¶

2

f

(6-19)

ç

÷

=

åç

÷Dζ i

+

å

ρlk

Dζ l Dζ k

2

¶Al ¶Ak

2 i=1 è

¶A i

ø

l¹k

Следовательно, в оценку, получаемую по формуле (6-15), можно внести поправку, вычисляемую по формуле

~		1	m	¶2 f	2	m	~	¶2 f
C	= -	2	å	¶A2	Si	- åρlk			Sl Sk .	(6-19)
								¶A¶A
			i =1	i		l ¹k		i k

Частные производные вычисляют, заменяя истинные значения аргументов их оценками.

Таким образом, в более общем виде формула для оценивания ~ принимает

A

вид

		~	~	~ ~	(6-20)
		A = f (A1		,..., Am )+ C .
~	Целесообразность введения поправки определяется соотношением между
	и погрешностями	~			что в большинстве случаев
C		A . Нужно также заметить,

условия независимости друг от друга погрешностей измерений аргументов, отмеченные в § 6-2, выполняются и для вычисления поправки в формуле (6-19) достаточно учесть только первый член.

В отношении условия пренебрежения остаточным членом R3 следует

руководствоваться теми же соображениями, которые были высказаны выше применительно к остаточному члену R2.

Перейдем к оцениванию погрешностей. В общем виде

ζ = ~ -

A A.

Воспользуемся соотношением (6-13) и, имея в виду, что возможность пренебречь членом R2 оценивается отдельно, получим

	æ	¶	ζ1	¶		ζ m	ö	,..., Am )
	ç						÷
		¶A		+ ... + ¶A
	ζ = ç						÷ f (A1
	è	1			m		ø
	или
				m
				ζ = åWiζi .				(6-21)
				i=1

При точно известных коэффициентах влияния соотношение (6-21) полностью совпадает с соотношением (6-4) для линейных косвенных измерений. Поэтому оценивание параметров случайных, неисключенных систематических

погрешностей и общей погрешности результата измерения можно производить по формулам (6-5) — (6-12).

В частности, при отсутствии корреляционной зависимости между погрешностями измерений аргументов в соответствии с формулой (6-6)

получаем

~
	2	2	2 2		(6-22)
S(A)=	W1	S1	+...+Wm Sm .

М. Ф. Маликов это соотношение не совсем удачно назвал законом сложения погрешностей [36].

Нужно обратить внимание на то, что Si2 в формуле (6-22) — это оценка

дисперсии результата измерения аргумента ~ , а не результатов наблюдений.

Ai

Коэффициенты влияния чаще всего оцениваются при подстановке в

выражения для частных производных полученных оценок ~ . Следовательно,

Ai

вместо самих коэффициентов влияния мы получаем лишь их оценки. Кроме того, иногда коэффициенты влияния определяют экспериментально. В том и другом случае они устанавливаются с некоторой погрешностью.

Погрешность определения коэффициентов влияния служит еще одним источником погрешности нелинейных косвенных измерений.

Данной погрешности можно избежать, если зависимость (6-1) имеет вид

A = Ak Al	...An .	(6-23)
1 2	m

В этом случае коэффициенты влияния определяются выражениями:

W =		∂A			= kAk −1Al		...An ,
1	∂A1					1 2	m
W2 =			∂A			= A1klA2l −1...Amn ,
		∂A
	2
.....................................
Wm =			∂A			= A1k A2l ...nAmn−1.
			∂A
			m

Оценку измеряемой величины находим по формуле (6-15), а ее абсолютная погрешность определяется формулой (6-21). Перейдем от

абсолютной погрешности к относительной

		~			kA1k−1 A2l ...Amn
	ε =	A − A		=					ζ1 +
		A
						A
	lAk Al−1...An						Ak Al	...nAn−1
+	1 2	m	ζ 2 +...+				1 2		m	ζ m
								A
	A

Выражая здесь A в соответствии с формулой (6-23); получим

ε = k	ζ1	+ l	ζ2	+ ...+ n	ζm .	(6-24)
	A1		A2		Am

Коэффициенты влияния для относительных погрешностей измерений аргументов оказываются равными показателям степеней соответствующих аргументов. Последние точно известны априори, так что отмеченная выше погрешность не возникает. В этом еще одно достоинство выражения погрешностей измерений в форме относительных погрешностей.

Используя формулу (6-24) вместо формулы (6-21), можно так же, как рассмотрено выше, оценивать и общую погрешность косвенного измерения, и ее составляющие. В частности, оценку среднего квадратического отклонения

результата измерения можно получить по формуле

~	k	2	2	~	2	2	~	(6-25)
S% (A)=			S%	(A1 )+ ...+ n		S%	(Am ).

Разница состоит в том, что вместо абсолютных погрешностей измерений

аргументов во всех формулах оперируют их относительными погрешностями и коэффициентами влияния в относительной форме.

Практический прием нахождения коэффициентов влияния при выражении погрешностей в форме относительных погрешностей состоит в следующем. Рассматриваемая зависимость, например (6-23), сначала логарифмируется, а затем дифференцируется. В нашем случае

получаем

ln A = k ln A1 + l ln A2 +...+ nln Am ,

∂A	= k	∂A1	+ l	∂A2	+...+ n	∂Am .
A		A		A		A
		1		2		m

Затем, полагая, что погрешности измерений малы, и заменяя дифференциалы величин на приращения величин, получаем формулу (6-24). Погрешность из-за этой замены, естественно, та же, что и при применении разложения в ряд Тейлора. Определяется она суммой произведений

погрешностей — попарных, тройных и т. д., то есть величинами второго и более высоких порядков малости.

Важно обратить внимание еще на одну практическую рекомендацию. В некоторых

нелинейных зависимостях тот или иной аргумент фигурирует несколько раз и упрощению выражение не поддается. При вычислении коэффициентов влияния в этом случае необходимо после разложения в ряд Тейлора привести подобные по каждому аргументу члены. Приведение подобных членов следует выполнять, сохраняя те знаки, которые получились при дифференцировании. И лишь тогда, когда получена окончательная формула, т. е. формула, в которую каждый аргумент (точнее — погрешности измерения каждого аргумента) входит только один раз, можно переходить к численным расчетам и, смотря по обстоятельствам, распоряжаться знаками перед слагаемыми. При вычислении поправок они должны сохраняться, при вычислении погрешностей, когда погрешности измерений аргументов рассматриваются как случайные величины, суммирование осуществляется вероятностными методами и эти знаки обычно роли не играют.

Погрешность из-за неточности определения коэффициентов влияния можно оценить.

Найдем для этого связь между Wi				~	пользуясь разложением
		и ее оценкой Wi
в ряд Тейлора. Очевидно, что
~		m	¶W	, j ¹ i .
Wi	= Wi + å		i ζ j
		j =1	¶Aj

Здесь ζ j — погрешность измерения j-го аргумента. Согласно (6-21)

	m æ ~		m	¶Wi		ö
ζ = åççWi			- å	¶Aj	ζ j ÷÷ζ i .
	i=1 è		j=1			ø
Отсюда
	m ~		m	¶2 f
ζ = åWiζ i		- 2å					ζ jζ i .
				¶A ¶A
	i=1		j¹1	i		j
Если вместо ζ принять ζ€	m ~
	= åWiζi , то получим погрешность
	i=1
			m	¶2 f
Dζ = ζ€-ζ = 2å							ζ jζ i .
				¶A ¶A
			j¹i	i		j

Подставляя в эту формулу практически предельные погрешности оценок аргументов, можно оценить погрешность, обусловленную неточностью определения коэффициентов влияния, и решить, можно ли этой погрешностью пренебречь или нет. Если эта погрешность окажется слишком большой по сравнению с той погрешностью, которая допустима для данного измерения, а уточнить оценки коэффициентов влияния нет возможности, то, по-видимому,

нужно отказаться от разложения функции в ряд Тейлора и соответственно пересмотреть план всего измерения.

Математическое ожидание и дисперсия погрешности из-за неточности определения коэффициентов влияния равны:

m		¶2 f
M [Dζ ]= 2å				MϑiMϑj ,
	¶A¶A
i ¹ j		i	j
m æ		¶2 f	ö2
ç					÷	Dζi Dζ j .
D[Dζ ]= 4åç		¶A ¶A ÷
i¹ j è		i	j ø

Приведенные выражения получены в предположении независимости погрешностей измерений аргументов; они являются приближенными из-за того, что вторые производные приняты за детерминированные величины. Для точного решения их нужно считать случайными.

В подавляющем большинстве случаев линеаризация оказывается допустимой, и поэтому данный метод является основным методом получения

результата и оценивания погрешностей при нелинейных косвенных измерениях.

При линеаризации в качестве оценок аргументов обычно принимают средние арифметические результатов наблюдений, полученных при измерениях. Однако известно, что в общем случае M [f (X ,...,Z )¹ f (MX ,...,MZ )]. Поэтому оценка измеряемой величины, найденная таким образом, оказывается смещенной. Хотя эта смещенность входит в оценку погрешности косвенного измерения, ее желательно не иметь.

Несмещенную оценку измеряемой величины можно получить, если воспользоваться методом приведения. Для этого, как отмечалось в § 6-1, наблюдения, выполняемые при измерениях аргументов, должны быть согласованными. Одним из способов получения согласованных наблюдений является одновременность их выполнения. Однако одновременность

выполнения наблюдений может привести к появлению корреляции между погрешностями измерений аргументов. Учет корреляции усложняет обработку результатов наблюдений, и поэтому желательно так спланировать эксперимент, чтобы между погрешностями измерений аргументов все же не было связи. Наличие корреляции можно проверить статистическими методами.

Метод приведения позволяет найти оценку измеряемой величины и ее случайной погрешности, не прибегая к разложению в ряд Тейлора. Для систематических погрешностей эту задачу можно решить, пользуясь методом перебора вариантов — численным методом построения распределения оценок измеряемой величины по распределениям оценок аргументов. Последние при этом, как отмечалось выше, принимаются за равномерные. Метод перебора изложен в § 4-5.

Казалось бы, метод перебора можно использовать и для нахождения оценки косвенно измеряемой величины. Действительно, по гистограммам наблюдений,

полученным при измерениях

аргументов, можно найти приближение к соответствующей этим гистограммам функции распределения возможных значений измеряемой величины и по ней — наиболее вероятное из этих значений, которое естественно принять за оценку измеряемой величины. К сожалению, при этом не удается оценить случайную погрешность результата.

Другой путь решения задачи предложен в работе [35].

Для того чтобы пояснить существо данного метода, рассмотрим частный случай, когда измеряемая величина есть функция двух аргументов, которую можно представить в виде произведения двух функций:

A = f (A1, A2 )= f1(A1 )f2 (A2 ).

(6-26)

Истинное значение каждого измеряемого аргумента — неслучайная величина. Однако из-за случайных погрешностей измерений результаты наблюдений, выполненных при измерении аргументов, нужно рассматривать как случайные величины. Поскольку известно, что в общем случае

			M [f (X )]¹ f (MX ),
то оценки	~				нужно	от
	Ai нельзя непосредственно ввести в формулу (6-26),
случайных	величин x1i	и	x2i — результатов наблюдений — перейти			к
случайным величинам y1i		и y2i	по формулам:
			y1i = f1 (x1i ), y2i = f2 (x2i ).
Если погрешности измерений аргументов независимы, то и случайные
величины Y1	и Y2 также независимы. Тогда, поскольку
	M [f (X1, X 2 )]= M [f1 (X1 )f2 (X 2 )]= M [f1(X1 )]M [f2 (X 2 )],
то в качестве оценки измеряемой величины следует принять
			~	~ ~	(6-27)
			A	= y1 y2 ,

где

y1 = M [f1(X1 )], y2 = M [f2 (X 2 )],

а ~y1 и ~y2 — их оценки.

Каждая группа наблюдений y1i и y2i обрабатывается как группа наблюдений при прямых измерениях, в результате чего получаем ~y1 и ~y2 и оценки их средних квадратических отклонений S(~y1 ) и S(~y2 ). Первые согласно (6-27) определяют оценку измеряемой величины, вторые — оценку ее среднего квадратического отклонения.

Чтобы решить вторую задачу, приведем сначала формулу для дисперсий произведения двух независимых случайных величин Y = Y1Y2 :

D[Y ]= M [Y 2 ]- (MY )2 = M [Y12Y22 ]- (M [Y12Y22 ])2 =

= M [Y12 ]M [Y22 ]- (MY1MY2 )2 ,

M [Yi2 ]= DYi + (MYi )2 .

Поэтому получим

DY = [DY1 + (MY1 )2 ][DY2 + (MY21 )2 ]− (MY1MY2 )2 .

Следовательно, для нашего случая можно написать:

~

~ ~2

~ ~2

~ ~

2

~ ~

~ ~2

~ ~2

DA =

(Dy1 + y1 )(Dy2

+ y2

)− (y1 y )

= Dy1Dy2

+ Dy1 y2

+ Dy2 y1 .

~ ~

~2

~

~2

~

, и поэтому можно принять

Обычно Dy1Dy2

<< y2

Dy1

+ y1

Dy2

~

~2

~

~2

~

DA = y2

Dy1

+ y1

Dy2 .

Удобна относительная форма записи

~

~

~

DA

=

Dy

+

Dy

.

~

1

2

2

~2

~2

A

y1

y2

Переходя от дисперсий к их оценкам, получим

S

2

~

S

2

~

S

2

~

(A)

=

(y1 )

+

(y2 )

.

~2

~2

~2

A

y1

y2

Соответственно этому

~

S

2

~

)

S

2

~

)

S(A)

=

(y

+

(y

2

.

~

1

~2

~2

A

y1

y2

Если сомножителей не два, а больше, то приведенные соотношения

примут вид

~ = Õm ~i , (6-28)

A y

i=1

2		~			m	S	2	~	)
	S ~(2A)			= å			(yi			,
							~2
	A				i =1		yi
~
					m	S	2	~
S(A)			=	å				(y )			.
~							i
							~2
	A				i =1		yi

(6-29)

(6-30)

Для произведения величин можно построить и доверительные интервалы. В основе лежит построение доверительных интервалов для измеряемых аргументов, которое выполняется обычными методами. Затем границы интервалов преобразуют в границы интервалов величин yi и,

комбинируя их, получают доверительный интервал для измеряемой величины. Вероятность того, что измеряемая величина А будет находиться в данном интервале, вычисляется как произведение доверительных вероятностей соответствующих интервалов для аргументов.

Интересное уточнение данного метода изложено в работе [35].

6-5. Пример. Точное измерение плотности твердого тела

Точное измерение плотности твердого тела может служить примером статистических нелинейных косвенных измерений.

Плотность твердого тела определяется формулой

ρ = m /V ,

где т — масса тела, V — объем тела.

В рассматриваемом опыте масса тела измерялась методами точного взвешивания с применением набора образцовых гирь, погрешность которых не превышает 0,01 мг. Объем тела определялся методом гидростатического взвешивания с применением того же набора гирь.

Результаты наблюдений представлены в табл. 6-1, в столбцах первом и четвертом.

Таблица 6-1

Результаты наблюдений, полученные при измерении плотности твердого тела, и данные их начальной обработки

Масса тела								6			10
mi ×10	3	,кг	(m - m)2 ×107	,кг	(m - m)2 ×1014	кг2	Объем тела Vi ×10		(Vi -V )×10			V -V				21020	м6
			i		i		м3		м3			(	i		)
1			2		3		4		5						6
252,9119			-1		1		195,3799		+1						1
133			+13		169		3830		+32				1024
151			+31		961		3790		-8						64
130			+10		100		3819		+21						441
109			-11		121		3795		-3						9
094			-26		676		3788		-10						100
113			-7		49		3792		-6						36
115			-5		25		3794		-4						16
119			-1		1		3791		-7						49
115			-5		25		3791		-7						49
118			-2		4		3794		-4						16

Разница между результатами наблюдений объясняется случайной погрешностью весов. Как следует из приведенных данных, эта погрешность настолько превышает систематические погрешности, обусловленные погрешностями гирь, что этими погрешностями можно пренебречь.

Поскольку масса твердого тела и его объем неизменны, для оценки плотности твердого тела нужно найти с необходимой точностью оценки его массы и объема и составить их отношение. Для

этого найдем средние значения результатов наблюдений и оценки средних квадратических отклонений для групп наблюдений:

m = 252,9120 ×10−3

= 195,3798 ×10−6 м3.

кг, V

1

n1

2

2132 ×10−14

S 2 (mi ) =

å(mi

- m)

=

= 213,2×10−14

кг2.

n -1

10

1

i=1

1

n1

2

1805 ×10

−20

S 2 (Vi ) =

å(Vi -V )

=

= 180,5×10−20

м6.

n -1

10

1

i=1

Оценки дисперсий в относительной форме равны

S 2	(m ) =		213×10−14
0	i		(252,9 ×10−3 )2
S 2	(V ) =		180 ×10−20
0	i	(195,4 ×10−6 )2

=3,32 ×10−11 ,

=4,74 ×10−11 .

Оценка измеряемой величины

			~			−3
	ρ	=	m	=	252,9120 ×10			= 1,294463×103 кг/м3.
			~
					195,3798×10−		6
			V

Для оценивания погрешности полученного результата удобнее всего воспользоваться методом линеаризации, но надо проверить допустимость этого приема. Для этого следует оценить остаточный член R2 по формуле (6-14):

1

é

¶

2

ρ

(Dm)2 +

¶

2

ρ

(DV )2 + 2

¶

2

ρ

ù

R2

=

ê

DmDV ú,

2

2

¶m¶V

2

ë

¶m

¶V

û

¶ρ

=

1

,

¶2 ρ

= 0,

¶m

V

¶m2

¶ρ

= -

m

,

¶2 ρ

=

2m

,

¶V

V

2

¶V 2

V 3

¶2 ρ

= -

1

.

¶m¶V

V 2

Частные производные будем вычислять в

, так как

точке с координатами m и V

погрешности m и V относительно незначительны. Получим

R =

m

(DV )2

-

1

DmDV =

2

V 3

V 2

m

æ

DV ö

2

m

Dm

DV

~ DV

æ DV

Dm ö

=

ç

÷

-

×

×

= ρ

ç

-

÷

V

è

V

ø

V

m

V

V

è

V

m

ø

или

R~2

ρ

=DV æ DV - Dm ö

ç÷ .

V è V m ø

В качества V и m возьмем наибольшие отклонения от средних значений, наблюдавшиеся в эксперименте:

DV = 32 ×10−10 м3, Dm = 31×10−7 кг.

	Относительные погрешности равны
	DV			=	32 × 20−10		= 1,64 ×10−5	,
					195,4 ×10−6
	V
	Dm			=	31×10−7		= 1,22 ×10−5 .
	m				252,9 ×10−3

Поскольку погрешности случайные, то знак погрешности не следует фиксировать.

Получим

~

×10

−5

(1,64

+1,22)×10

−5

= 4,7

×10

−10

.

R2 ρ = 1,64

Эта погрешность настолько меньше той, которую могут дать погрешности

DV

и

Dm

, что

V

m

очевидна возможность линеаризации.

Оценку среднего квадратического отклонений в относительной форме найдем по формуле

(6-25):

S 2 (m

)

S 2

(V )

~

3,32 ×10−11 + 4,74 ×10

−11

−6

0

i

0

i

S

0 (ρ )=

+

=

= 2,7 ×10

.

n m

2

2

11

n V

1

2

Здесь коэффициенты влияния k = 1 , l = -1.

В процентах

~

−4

% .

S% (ρ )= 2,7 ×10

В единицах плотности получим

S(ρ~) = 2,7 ×10−6 ×1,294 ×103 = 3,5 ×10−3 кг/м3.

Найдем теперь доверительные границы погрешности результата. Основываясь на формуле (6-24), можем написать

ψ 0ρ = ψ 0m - ψ 0V .

Поскольку погрешности случайные, то знак минус учитывать не нужно. Найдем доверительные границы составляющих. Возьмем доверительную вероятность α = 0,95 .

Кроме того, имеем k=10. Тогда можем, найти по распределению Стыодента tq = 2,23 .

Доверительные границы погрешностей составляющих будем вычислять также в форме относительных погрешностей:

(m)

ψ m% =

100tq

S

0

= 100

× 2,23

3,32 ×10

−11

= 3,88 ×10−4%,

n1

11

(V

)

ψV % =

100tq

S

0

= 100

× 2,23

4,74 ×10

−11

= 4,64 ×10−4% .

11

n2

Теперь можем найти и значение

ψ ρ % =

= 10−4

= 6,0×10−4% .

ψ m2 % +ψV2%

3,882 + 4,642

Итак,

ψ ρ % = 6 ×10−4%.

Интересно вычислить доверительные границы для этой же доверительной вероятности,

пользуясь приближенной оценкой числа степенной свободы по Уэлчу.

Обратимся к формуле (6-8) и преобразуем ее,

имея в виду, что у нас n1 = n2 = n =11 и

b1 = b2 = 1:

1

[S 2 (m )+ S 2

(V )]2

2

[S 4 (m )+ S 4

(V )]

-

n2

n2

(n +1)

kэф =

0

i

0

i

0

i

0

i

=

1

[S

4 (m )+ S

4 (V )]

n2 (n +1)

0

i

0

i

(3,32 + 4,74)2 ×10−22 -

2

(3,322 + 4,742 )×10−22

12×65

=

12

=

- 2 = 21,2 » 21.

1

(3,322

+ 4,742 )×10−22

33,5

12