Модальные суждения.

В отличие от ассерторических, просто констатирующих факт, модальные суждения выражают характер связи субъекта и предиката в простых суждениях и характер связи между частями сложных суждений, давая им оценку: Всегда, хорошо, вероятно, доказано и т. д. Их структура: M (S есть P). Например: «Не может стол иметь форму шара» (или «Не может быть что, стол имеет форму шара»), то есть, модальный оператор «M» просто добавляется к ассерторическому суждению («Стол имеет форму шара»), хотя иногда для этого требуются смена склонений или другие коррективы.

Модальная логика имеет несколько общих особенностей:

Необходимость означает невозможность отрицания.

Возможно означает «неверно, что необходимо».

Случайность означает возможность, как утверждения, так и отрицания.

Логически необходимое всегда истинно (что позволяет строить дедуктивные умозаключения), но не наоборот.

Истинность необязательно логически необходима, но всегда логически возможна (что позволяет строить индуктивные умозаключения), но не наоборот, поскольку логика не исключает лжи. И тем не менее:

Логически невозможное – обязательно лживо.

Физически необходимо то, отрицание чего нарушает законы природы. Физически необходимое всегда истинно.

В модальной логике имеются так же особенности логики оценок:

Хорошо лишь то, противоположное чему плохо (например, иметь машину хорошо лишь для того, кто в ней нуждается, иному она безразлична, но, вероятно, хороши вырученные за нее деньги).

То, что нарушает закон непротиворечия, не может иметь одну оценку.

К модальным суждениям можно отнести и внешнеотрицательные (опровергающие) суждения, например, опровергающее суждение «Неверно что, машина – роскошь», сходно модальному «Не может быть что, машина – роскошь», хотя в первом случае категорически утверждается ложность суждения, а во втором, его истинность оценивается как, маловероятная.

Сложные суждения.

Сложные суждения состоят из ряда простых («Человек не стремится к тому, во что не верит и, любой энтузиазм, не подкрепляясь реальными достижениями, постепенно угасает»), каждое из которых в математической логике обозначается латинскими буквами (A, B, C, D… a, b, c, d…). В зависимости от способа образования различают конъюнктивные, дизинъюнктивные, импликационные, эквивалентные и отрицательные.

Дизинъюнктивные суждения образуются с помощью разделительных (дизинъюнктивных) логических связок аналогичных союзу «или». Подобно простым разделительным суждениям бывают нестрогими (нестрогая дизинъюнкция), члены которой допускают совместное сосуществование (толи…, толи…), записывающимися a V b; и строгими (Строгая дизинъюнкция) члены которой исключают друг друга (либо одно, либо другое), записывающимися a b (с точкой над V).

Импликационные суждения образуются с помощью импликации, эквивалентной союзу «если …, то» и записываются a → b или a b, хотя в естественном языке союз «если …, то» иногда является синонимом союза «а» («Погода изменилась и, если вчера было пасмурно, то сегодня не одной тучи») и, в таком случае, означает конъюнкцию.

Конъюнктивные суждения образуются с помощью логических связок сочетания (конъюнкции) эквивалентной запятой или союзам «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато» и другим, обозначаемых знаком « ». Что в математической логике записывается как (a b).

Эквивалентные суждения указывают на тождественность частей суждения друг другу (проводят между ними знак равенства). Помимо определений, поясняющих какой-либо термин, могут быть представлены суждениями, соединенными союзами «если только», «необходимо», «достаточно» (например: «Чтобы число делилось на 3, достаточно чтобы, сумма цифр, его составляющих, делилась на 3»), и записывается a ≡ b; a ↔ b; a b (у разных математиков по-разному, хотя математический знак тождества все-таки ≡).

Отрицательные суждения строятся с помощью связок «не» и записываются либо a ~ b, либо a b при внутреннем отрицании типа «машина не роскошь», и с помощью черты над всем суждением при внешнем отрицании (опровержении) «не верно что …» (a b).