МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«БАРАНОВИЧСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра физико-математических дисциплин

Математика

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.

МНОГОМЕРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Материалы для подготовки к входному тестированию и экзамену

Барановичи

РИО БарГУ

2009

Составители: И.Н. Бруй, Т.Р. Якубович

Рецензенты:

В.В. Бураковский, доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»;

А.Н. Унсович, начальник центра дистанционного обучения учреждения образования «Барановичский государственный университет»

Н.И. Шляго, декан факультета заочного образования учреждения образования «Барановичский государственный университет»

Рекомендовано к изданию методической комиссией инженерного факультета (протокол № от )

Математика: Числовые и функциональные ряды. Многомерное интегральное исчисление: Материалы для подготовки к входному тестированию и экзамену / сост.: И.Н. Бруй, О.А. Семенчукова. – Барановичи: РИО БарГУ, 2009. – 60 с.

Материалы содержат выписку из типовой программы курса «Математика» по разделам, изучаемым студентами-заочниками второго курса инженерных специальностей, контрольный входной тест, некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач, вопросы для подготовки к экзамену, список литературы, приложения.

Данное издание предназначено студентам-заочникам 2 курса для содействия их подготовке к входному тестированию и экзамену по математике.

1. Типовая программа (3 семестр)

Раздел 10. Числовые и функциональные ряды.

Тема 10.1. Числовые ряды.

Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Достаточные условия сходимости ряда: признаки сравнения; признаки Даламбера и Коши; интегральный признак. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

Тема 10.2. Общие функциональные ряды.

Функциональные ряды, сумма ряда и область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда.

Тема 10.3. Общие свойства степенных рядов.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

Тема 10.4. Ряды Тейлора.

Ряды Тейлора. Теорема о единственности разложения функций в ряд Тейлора. Достаточные условия представления функции рядом Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.

Тема 10.5. Применения степенных рядов.

Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений, вычислению определенных интегралов.

Раздел 11. Ряд и интеграл Фурье.

Тема 11.1. Тригонометрические ряды Фурье.

Ортогональность тригонометрической системы функций. Тригонометрический ряд Фурье. Достаточные условия сходимости тригонометрических рядов Фурье. Ряд Фурье для функций с периодом 2, и для функций с произвольным периодом. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме.

Тема 11.2. Интеграл Фурье.

Интеграл Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье и их свойства. Комплексная форма интеграла Фурье.

Раздел 9. Интегралы, зависящие от параметра.

Тема 9.1. Интегралы по конечному промежутку, зависящие от параметра.

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Их непрерывность, дифференцирование и интегрирование.

Тема 9.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.

Несобственные интегралы, зависящие от параметра (НИЗОП). Равномерная сходимость НИЗОП, признак Вейерштрасса. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости НИЗОП.

Тема 9.3. Гамма– и бета– функции.

Гамма-функция, бета-функция и их применения.

Раздел 6. Интегральное исчисление функций многих переменных.

Тема 6.1. Двойной интеграл.

Определение двойного интеграла и его свойства. Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Перемена порядка интегрирования в повторном интеграле.

Тема 6.2. Тройной интеграл.

Тройной интеграл, его определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат.

Тема 6.3. Двойные и тройные интегралы в криволинейных координатах.

Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Двойной интеграл в полярной системе координат. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.

Тема 6.4. Приложения кратных интегралов.

Приложения кратных интегралов: вычисление объемов; площадей; статических моментов; центра тяжести; моментов инерции.

Тема 6.5. Криволинейный интеграл первого рода.

Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов первого ряда. Приложения криволинейных интегралов первого ряда.

Тема 6.6. Криволинейный интеграл второго рода.

Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов второго ряда. Приложения криволинейных интегралов второго ряда. Связь криволинейных интегралов первого и второго родов.

Тема 6.7. Формула Грина.

Формула Грина. Условия независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Тема 6.8. Поверхностный интеграл первого рода.

Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода, его вычисление, свойства, приложения.

Тема 6.9. Поверхностный интеграл второго рода.

Нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация двусторонней поверхности. Поверхностный интеграл второго рода, его вычисление и свойства. Формулы Остроградского–Гаусса и Стокса. Связь поверхностных интегралов первого и второго родов.

Раздел 8. Векторный анализ и элементы теории поля.

Тема 8.1. Скалярные и векторные поля.

Скалярные и векторные поля. Векторные линии поля и их дифференциальные уравнения.

Тема 8.2. Потенциальное поле.

Потенциальное поле. Потенциальная функция поля.

Тема 8.3. Поток и дивергенция векторного поля.

Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Физический смысл формулы Остроградского–Гаусса.

Тема 8.4. Циркуляция и ротор векторного поля.

Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция и ротор векторного поля. Физический смысл формулы Стокса.

Тема 8.5. Дифференциальные операции первого и второго порядков.

Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа. Дифференциальные операции первого и второго порядков в цилиндрических и сферических координатах.

Раздел 12. Элементы теории функций комплексной переменной.

Тема 12.1. Функции комплексной переменной.

Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

Тема 12.2. Дифференцирование функций комплексной переменной.

Производная функции комплексной переменной. Понятие аналитической функции, условия Коши – Римана. Связь аналитических и гармонических функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные преобразования.

Тема 12.3. Интегрирование функций комплексной переменной.

Интеграл от функции комплексной переменной. Теорема Коши и интегральная формула Коши.

Тема 12.4. Функциональные ряды в комплексной области.

Функциональные ряды в комплексной области. Степенные ряды в комплексной области: теорема Абеля; радиус и круг сходимости. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. Нули аналитических функций и их классификация.

Тема 12.5. Ряды Лорана и их применение.

Ряд Лорана и область его сходимости. Изолированные особые точки аналитических функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки.

Тема 12.6. Вычеты аналитических функций и их применение.

Вычеты аналитических функций. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов к вычислению определенных интегралов.