4. Вопросы к экзамену (3 семестр)

Раздел 10. Числовые и функциональные ряды.

1. Сумма числового ряда. Необходимое условие сходимости.

2. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши).

3. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

5. Функциональные ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов.

6. Свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование).

7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда.

8. Основные свойства степенных рядов.

9. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложимости функции в ряд Тейлора.

10. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

11. Вычисление значение функций и интегралов с помощью степенных рядов.

Раздел 11. Ряд и интеграл Фурье.

1. Тригонометрическая система функций. Тригонометрический ряд Фурье.

2. Условия сходимости ряда Фурье.

3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций.

3. Ряд Фурье для функций с периодом .

4. Ряд Фурье в комплексной форме.

5. Представление функции интегралом Фурье.

6. Косинус- и синус- преобразования Фурье.

Раздел 9. Интегралы, зависящие от параметра.

1. Непрерывная зависимость интеграла (по конечному промежутку) от параметра.

2. Дифференцирование по параметру под знаком интеграла.

3. Интегрирование по параметру под знаком интеграла.

4. Равномерная сходимость несобственного интеграла (по бесконечному промежутку) относительно параметра. Критерий Вейерштрасса.

5. Непрерывная зависимость несобственного интеграла от параметра.

6. Интегрирование по параметру под знаком несобственного интеграла.

7. Дифференцирование по параметру под знаком несобственного интеграла.

8. Гамма-функция (эйлеров интеграл второго рода), её свойства.

9. Бета-функция (эйлеров интеграл первого рода), её свойства.

Раздел 6. Интегральное исчисление функций многих переменных.

1. Определение двойного интеграла и его свойства.

2. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Повторные интегралы.

3. Тройной интеграл и его свойства.

4. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат.

5. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве.

6. Элементы площади и объема в криволинейных координатах.

7. Замена переменных в двойных и тройных интегралах.

8. Двойной и тройной интегралы в некоторых системах координат (полярные, цилиндрические и сферические координаты).

9. Применения кратных интегралов.

10. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление.

11. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление.

12. Связь криволинейных интегралов первого и второго родов.

13. Формула Грина.

14. Определение площади кривой поверхности.

15. Поверхностные интегралы первого рода и их вычисление.

16. Сторона поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности.

17. Поверхностные интегралы второго рода и их вычисление.

18. Формула Остроградского - Гаусса.

19 Формула Стокса.