- •Математика
- •Часть 1
- •1. Цель изучения дисциплины
- •2. Правила и порядок выполнения контрольных работ
- •3. Тематический план дисциплины
- •4. Рабочая программа дисциплины
- •Раздел 1. Дифференциальное исчисление
- •Раздел 2. Интегральное исчисление
- •Раздел 3. Дифференциальные уравнения. Ряды
- •2 Семестр
- •Раздел 4. Аналитическая геометрия
- •Раздел 5. Линейная алгебра
- •Раздел 6. Элементы теории вероятностей
- •3 Семестр
- •Раздел 7. Линейное программирование
- •4 Семестр
- •Раздел 8. Транспортная задача
- •Раздел 9. Матричные игры
- •Раздел 10. Теория массового обслуживания
- •5. Список литературы (основная и дополнительная)
- •6. Контрольные вопросы для экзамена за 1 курс
- •7. Тематика контрольных работ
- •8. Контрольная работа №1
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •9. Методические указания по выполнению контрольной работы №1
- •I. При вычислении пределов следует учитывать следующие основные правила:
- •II. При вычислении производных следует учитывать основные правила дифференцирования:
- •Общая схема исследования функции
- •III. При вычислении интегралов следует учитывать основные правила интегрирования:
- •Основные методы интегрирования
- •Понятие определенного интеграла
- •10. Контрольная работа №2 вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •11. Методические указания по выполнению контрольной работы №2 Понятие матрицы. Действия над матрицами
- •Понятие обратной матрицы
- •Понятие определителя. Свойства определителей
- •Свойства определителей
- •Система линейных уравнений
- •Метод Крамера
- •Матричный метод решения
- •Метод Гаусса
- •Понятие случайного события. Алгебра событий
- •Классификация событий
- •Понятие вероятности и частоты
- •Формулы комбинаторики
- •Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •Повторение независимых опытов. Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Понятие случайной величины
- •Способы задания случайных величин
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Содержание
Понятие определенного интеграла
Определенным интегралом от непрерывной функции на отрезке называется приращение какой-нибудь ее первообразной на этом отрезке.
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
В отличие от неопределенного интеграла определенный интеграл есть число. Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он численно равен площади фигуры, образованной подынтегральной функцией, и прямыми , , .
Пример 23. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью .
Найдем пределы интегрирования как точки пересечения параболы с осью . При , , , , .
Теперь найдем площадь как
(кв. ед.)
Площадь фигуры, заключенной между двумя линиями и , вычисляется по формуле:
.
IV. Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида . Это наиболее простой тип дифференциальных уравнений. Оно решается методом разделения переменных, так чтобы при была функция от , а при была функция от .
Пример 24.
Так как , то получим
Разделяя переменные, получим или
Теперь интегрируем обе части
Вычислим интегралы
Итак,
Отсюда
Это решение, в котором содержится одна произвольная постоянная, называется общим решением.
Если заданы начальные условия, то с их помощью можно найти произвольную постоянную и получить частное решение.
Например, если заданы условия при , то, подставляя эти значения в общее решение находим величину С.
,
Теперь находим соответствующее частное решение
.
10. Контрольная работа №2 вариант 0
1. Решить систему линейных уравнений:
а) методом Крамера,
б) методом Гаусса,
в) матричным методом.
2. В нижней палате парламента 40 депутатов, среди которых первая партия имеет 20 представителей, вторая – 12 представителей, третья 5 представителей, а остальные считают себя независимыми. Случайным образом выбирают трех депутатов. Вычислите вероятность того, что среди них: а) только представители первой партии; б) только один депутат из первой партии.
3. Два специалиста ОТК проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть проверено любым из них. Вероятность выявления дефекта первым специалистом равна 0,8, а вторым 0,9. Из массы проверенных изделий наугад выбрано одно, оно оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил второй контролер?
4. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
Х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
р |
0,05 |
0,12 |
0,18 |
0,30 |
р |
0,12 |
0,05 |
Найти:
а) неизвестную вероятность р;
б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить ее график.
5. При оценке качества продукции было установлено, что в среднем третья часть выпускаемой фабрикой обуви имеет различные дефекты отделки. Какова вероятность того, что в партии из 200 пар, поступившей в магазин: а) будут иметь дефекты отделки 60 пар; б) не будут иметь дефектов отделки от 120 до 148 пар.