1.2.4 Отношения эквивалентности и порядка
Любое отношение не может быть одновременно симметричным и антисимметричным, рефлексивным и антирефлексивным, но существуют отношения, которые могут быть одновременно рефлексивными, симметричными, транзитивными.
Определение. Отношение a называется отношением эквивалентности, если оно одновременно является рефлексивным, симметричным, транзитивным.
Отношения, которые близки по смыслу слову «равный» являются эквивалентными. Например, отношение равенства между числами или «быть одинаковой формы» между фигурами.
Определение. Отношение a называется отношением порядка, если оно одновременно является антирефлексивным, антисимметричным, транзитивным.
Множество, на котором задано отношение порядка, называется упорядоченным.
Все отношения, близкие по смыслу отношению «следовать за» являются отношениями порядка. Например, отношение «<» на множестве чисел («выше» на множестве людей).
1.2.5 Разбиение множества на классы
Пример: рассмотрим множество М– множество разноцветных фигур; подмножество А – множество красных фигур, В – не красные фигуры. А Ì М, В = М \ А, В Ì М М
Подмножества А и В не являются пустыми. Они не пересекаются, и объединение их есть М.
При выполнении этих условий мы говорим, что множество М разбито на 2 класса: красных фигур и не красных
Общее определение. Говорят, что множество М разбито на классы (попарно не пересекающиеся подмножества) если выполнены 3 условия: все подмножества множества М не пусты, все подмножества множества М не пересекаются, объединение всех подмножеств множества М есть само множество М.
Разбиение множества на классы лежит в основе операции классификации.
Всякое отношение эквивалентности разбивает множества на классы и наоборот, разбиение множества на классы определяет отношение эквивалентности.
Если отношение не является отношением эквивалентности, то оно не разбивает множество на классы.
История развития понятия числа и деятельности счета. Способы записи чисел, история их развития.
Счет – математическое понятие, это операция, имеющая целью установить, сколько элементов содержит данное конечное множество.
1,5-2 года. Дети сопровождают свои операции с множеством такими словами как «вот», «еще» или числительными в любом порядке. Каждое повторение ребенок соотносит с одним предметом и одним движением, тем самым он устанавливает взаимнооднозначное соответствие между количеством предметов и количеством слов, движений.
2-4 года. Появляется интерес к сравнению множеств путем установления взаимнооднозначного соответствия. Последовательное называние числительных еще не означает овладение процессом счета, т.к. ребенок не понимает итога счета, т.е. не умеет отвечать на вопрос «сколько?» Счет еще не служит средством определения количества. Чаще всего названное числительное служит сигналом к остановке называния числительных.
4-5 лет. Дети начинают употреблять числительные в определенном порядке и отличать итог счета от процесса счета. Начинают понимать, что равночисленные множества всегда именуются одним числом.
5-6 лет. Усваивают последовательность называния числительных, понимают, что количество не зависит от направления счета, что число является показателем количества, осознают отношения между числами, т.е. осваивают обратный счет.
6-7 лет. Овладевают счетом группами, т.е. понимают, что единицей счета может быть не только отдельный предмет, а целая группа.
7-8 лет. Овладевают счетом десятками и новой деятельностью – вычислением. Счет связан с конкретным множеством, с определением количества в определенном множестве, а вычисление – абстрактная операция, здесь участвую только числа (без называния предмета).