Оглавление

1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ 1

1.1 Схема Горнера вычисления значений функции, заданной в виде многочлена 1

1.2 Метод итерации вычисления значений функции 2

1.2.1 Вычисление обратной величины 2

1.2.2 Вычисление квадратного корня 2

1.2.3 Вычисление обратной величины квадратного корня 2

1.2.4 Вычисление кубического корня 2

2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2

2.1 Метод итерации решения систем линейных уравнений 3

2.2 Метод Зейделя 4

3 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 5

3.1 Отделение корней, т.е. установление возможно тесных промежутков, в которых содержится один и только один корень уравнения. 5

3.2 Метод хорд решения уравнений 5

3.3 Метод касательных решения уравнений 5

3.4 Метод итерации решения уравнений 6

3.5 Метод итераций решения системы двух уравнений 6

3.6 Метод Лобачевского-Греффе решения алгебраических уравнений 7

4 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 8

4.1 Первая интерполяционная формула Ньютона 8

4.2 Вторая интерполяционная формула Ньютона 8

4.3 Интерполяционная формула Стирлинга 9

4.4 Интерполяционная формула Лагранжа 9

4.5 Применение интерполяционных формул при дифференцировании функций одной переменной 10

4.5.1 Для первой формулы Ньютона: 10

4.5.2 Для формулы Стирлинга 10

4.5.3 Для второй формулы Ньютона 10

5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 11

5.1 Формулы трапеций и парабол вычисления определенных интегралов функций одной переменной 11

5.1.1 Метод трапеций: 11

5.1.2 Метод парабол 12

5.2 Экстраполяция по Ричардсону 12

1. Приближенные методы вычисления значений функции

1.1 Схема Горнера вычисления значений функции, заданной в виде многочлена

Теорема 1. Числа , ..., являются коэффициентами по­линома Q(x), полученного в качестве частного при делении полинома f(x) на двучлен х -

					…

1.2 Метод итерации вычисления значений функции

Формула:

Сходимость процесса будет обеспечена., если первая и вторая производная сохра­няют постоянные знаки в интервале, содержащем корень у.

1.2.1 Вычисление обратной величины

Формула:

Вычисление начального значения

Представляем x как x= , где m-целое число и . Тогда полагают

1.2.2 Вычисление квадратного корня

Формула:

Начальное приближение такое же, но

( -целая часть )

1.2.3 Вычисление обратной величины квадратного корня

Формула:

Начальное приближение

1.2.4 Вычисление кубического корня

Формула:

Начальное приближение

2. Решение систем линейных уравнений

Способы решения систем линейных уравнений (СЛУ) делятся на две группы: точные методы и итерационные методы. Под точными методами понимают конечные алгоритмы для вычисления корней системы (напри­мер, правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов и т.д.). Итерационные методы позволяют получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (например, метод итерации, метод Зейделя и т.д.).

1. Метод итерации решения систем линейных уравнений

Дана система:

Для решения необходимо:

1. Вынести x из каждого уравнения за знак равенства

2. Заменить при i<>j

(Получим следующее выражение : x= + x)

3. Произвести процесс итерации по формуле.

Формула: = ( = )

Теорема 1. Если последовательность приближений , … , ... имеет предел

х = lim ,

то этот предел является решением системы, при этом говорят, что процесс итерации сходится.

Определение 1. Нормой матрицы А = [ ] называется действитель­ное число ||А||, удовлетворяющее условиям

1. ||А|| ≥ 0, причем ||А|| = 0 <=> А = 0

2. || А|| = ||А|| , — число

3. ||А + В|| ≤ ||А|| + ||В||

4. ||АВ|| ≤ ||А|| + ||В||

Определение 2. Норма матрицы А = [ ] называется канонической, если выполняются дополнительные сл. условия:

1. | | ≤ М,

2. из неравенств |А| ≤ |В| следует неравенство ||А|| ≤ ||В||.

Виды норм:

1. 

2. =

Теорема 2. (Достаточное условие сходимости процесса итерации) Процесс итерации для приведенной линейной системы сходится к единственному ее решению, независимо от выбора начального при­ближения, если какая-нибудь каноническая норма матрицы а меньше единицы.

Теорема 3. (Оценка погрешности принижений процесса итерации) Если за к обозначить число итераций, то норма погрешности к-той итерации

Пример таблицы:

х1

х2

х3

х4

0	2.1500	-0,8300	1,1600	0,4400
1	2,9719	-1,0775	1,5093	-0,4326
2	3,3555	-1,0721	1,5075	-0,7317
3	3,5017	-1,0106	1,5015	-0,8111
4	3,5511	-0,9783	1,4944	-0,8321
5	3,5662	-0,9644	1,4910	-0,8364
6	3,5703	-0,9593	1,4896	-0.8368
7	3,5713	-0,9576	1.4891	-0.8367
8	3,5714	-0.9571	1.4889	-0.8365
9	3,5714	-0,9570	1,4889	-0,8364
10	3,5714	-0,9570	1,4889	-0,8364