Вопрос №35. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

Полная система уравнений Максвел­ла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Мак­свелла, не являются независимыми и меж­ду ними существует следующая связь (изотропные не сегнетоэлектрические и не ферромагнитные среды):

D=₀E,

В=₀Н,

j=E,

где ₀ и ₀ — соответственно электриче­ская и магнитная постоянные,  и  — соответственно диэлектрическая и магнит­ная проницаемости,  — удельная прово­димость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля мо­гут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные по­ля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими заря­дами (электрическими токами), либо пере­менными электрическими полями. Уравне­ния Максвелла не симметричны относи­тельно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе су­ществуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей (Е=const и В=const) уравнения Максвелла при­мут вид

т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электри­ческие заряды, источниками магнитно­го — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электриче­ское и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса

можно представить полную систему урав­нений Максвелла в дифференциальной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная — эквивалентны. Однако когда имеются поверхности разры­ва — поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений являет­ся более общей.

Уравнения Максвелла в дифференци­альной форме предполагают, что все вели­чины в пространстве и времени изменяют­ся непрерывно. Чтобы достичь математи­ческой эквивалентности обеих форм урав­нений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электро­магнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше (см. § 90, 134):

D_1n=D_2n, E_1=E_2, B_1n=B_2n, H_1= H_2

(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов прово­димости).

Билет №36 Электромагнитные колебания. Резонанс

Электромагнитные колебания – периодически или почти периодически изменяющиеся заряд, напряжение, сила тока.

Эл-м. колебания делятся на: свободные (которые тоже делятся на гармонические и затухающие) и вынужденные.

Свободные – колебания, возникающие в системе после выведения из положения равновесия.

Гармонические – если активное сопротивление R=0, то полная энергия колебательной системы Wп остается числом постоянным. (идеальный колебательный контур)

Затухающие – если R не равно 0., то часть полной энергии переходит во внутреннюю, то есть идет нагревание проводов, значит Wп уменьшается.

Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки, присоединенной к его обкладкам.

1. Если на обкладках конденсатора заряд максимален c=q/u, то напряжения тоже максимально, значит возникает эл ток.

2. Ток нарастает, вокруг проводника возникает магнитное поле, которое изменяясь порождает вихревое электрическое, которое по правилу Ленца, препятствует нарастанию тока.

3. Когда заряд станет = 0, то и напряжение тоже = 0, но сила тока сначала максимальна, а только потом станет = 0 из-за явления самоиндукции. Энергия магнитного поля максимальна

4. Если сила тока уменьшается, магнитное поле уменьшается, а вихревое электрическое поле по правилу Ленца поддерживает ток, и происходит подзарядка конденсатора.

5. Сила тока = 0. Заряд максимален. Напряжение максимально. Энергия электрического поля максимальна. Произошло полпериода.

После зарядки конденсатора заряд, напряжение и сила тока меняются периодически.

и Wп= Wэ + Wм – полная энергия

- формула Томсона связывает период собственных электрических колебаний в контуре с его ёмкостью и индуктивностью

Э лектрический резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний тока в колебательном контуре при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура. Wо – частота,L – Индуктивность, C - Электроемкость

При наступлении резонанса сдвиг фаз между внешним напряжением и и силой тока в контуре станет = 0.

Острый угол при высоком R, тупой при низком R

W – частота внешнего переменного напряжения

Wо – собственная частота колебательного контура

Билет №37 Продольные и поперечные волны. Уравнение волны

Упругие волны.

1. Упругими или механическими волнами называются механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде.

Деформации в теле или среде называются упругими, если они полностью исчезают после прекращения внешних воздействий.

Тела, которые воздействуют на среду, вызывая колебания, называются источниками волн. Распространение упругих волн не связано с переносом вещества, но волны переносят энергию, которой обеспечивает волновой процесс источник колебаний.

2. Среда называется однородной, если ее физические свойства, рассматриваемые в данной задаче, не изменяются от точки к точке.

Среда называется изотропной, если ее физические свойства, рассматриваемые в задаче, одинаковы по всем направлениям.

Среда называется линейной, если между величинами, характеризующими внешнее воздействие на среду, которое и вызывает ее изменение, существует прямо пропорциональная связь. Например, выполнение закона Гука означает, что среда линейна по своим механическим свойствам.

Упругие продольные и поперечные волны.

1. Все волны делятся на продольные и поперечные.

Поперечные волны – упругие волны, при распространении которых частицы среды совершают колебания в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.

Продольные волны – упругие волны, при распространении которых частицы среды совершают колебания вдоль направления распространения волны.

Поперечные упругие волны возникают только в твердых телах, в которых возможны упругие деформации сдвига. Продольные волны могут распространяться в жидкостях или газах, где возможны объемные деформации среды, или в твердых телах, где возникают деформации удлинения или сжатия. Исключение составляют поперечные поверхностные волны. Простые продольные колебания – это процесс распространения в пространстве областей сжатий и растяжений среды. Сжатия и растяжения среды образуются при колебаниях ее точек (частиц) около своих положений равновесия.

Направление колебаний определяет поляризацию волны.

Уравнение, описывающее волновой процесс, называется волновым уравнением, функция, которая удовлетворяет этому уравнению – волновой функцией.

Волны бывают скалярные (давление в звуковой волне, плотность заряда в плазме) и векторные (упругие волны в кристаллах, электромагнитные волны). Направление колебаний определяет поляризацию волны.

Волновое уравнение, описывающее скалярную волну ξ =ξ(x,y,z,t), имеет вид:

, где – оператор Лапласа.

В случае, когда волновая функция зависит только от одной пространственной координаты (скажем, х), вдоль направления которой распространяется волна, решением волнового уравнения является функция: .

Постоянная а называется амплитудой волны, она показывает максимальное значение колеблющейся величины. Выражение, стоящее в скобках под знаком косинуса, называется фазой волны; ω – угловая частота; k – волновое число.

Из приведенного выражения видно, что в каждой данной точке пространства х = х₀ колебания происходят по гармоническому закону:

ξ(t) = a cos(ωt + φ), φ = α – kx₀ .

Волна, в которой колебания происходят по гармоническому закону, называется монохроматической.

БИЛЕТ №38 Фазовая скорость волны. Энергия волн

Фазовая скорость волны.

Из повседневного опыта известно, что бегущие по воде волны распространяются с постоянной скоростью, пока свойства среды, например, глубина воды, не меняется, что говорит о том, что скорость распространения волнового процесса в пространстве остается постоянной. В случае гармонических бегущих волн (см. определение выше) эта скорость называется фазовой.

Фазовая скорость - это скорость распространения данной фазы колебаний, т.е. скорость волны.

Связь длины волны , фазовой скорости и периода колебаний Т задается соотношением:

Учитывая, что , где - линейная частота волны, - период, а циклическая частота волны , получим разные формулы для фазовой скорости: .

Для волнового процесса характерна периодичность по времени и по пространству.

Т – период колебаний точек среды. Роль пространственного периода играет длина волны . Соотношение между периодом и циклической частотой задается формулой: . Аналогичное соотношение можно записать для длины волны и величиной k, называемой волновым числом: .

Таким образом. Можно добавить еще одно уравнение для фазовой скорости: .

Фазовая скорость различна для разных сред. В случае упругих поперечных волн (в твердом теле) фазовая скорость равна: ,где - модуль сдвига среды, -ее плотность в невозбужденном состоянии (т.е. когда в этой среде не распространяется упругая волна).

Фазовая скорость упругих продольных волн в твердом теле равна ,где Е - модуль Юнга, - плотность невозмущенной среды (твердого тела до момента распространения по нему волны).

Фазовая скорость продольных волн в жидкости и газе определяется соотношением: ,где К – модуль объемной упругости среды – величина, характеризующая способность среды сопротивляться изменению ее объема, - плотность невозмущенной среды.

Фазовая скорость продольных волн в идеальном газе задается формулой: , - показатель адиабаты, - молярная масса, Т – абсолютная температура, R – универсальная газовая постоянная. Фазовая скорость в газе зависит от сорта газа ( ) и от его термодинамического состояния (Т).

Энергия упругих волн.

В среде распространяется плоская упругая волна и переносит энергию, величина которой в объеме равна: ,где - объемная плотность среды.

Если выбранный объем записать как , где S – площадь его поперечного сечения, а - его длина, то среднее количество энергии, переносимое волной за единицу времени через поперечное сечение S, называется потоком через его поверхность: .

Количество энергии, переносимое волной за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны, называется плотностью потока энергии волны.Эта величина определяется соотношением: ,где -объемная плотность энергии волны, - фазовая скорость волны. Так как фазовая скорость волны - вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны, то можно величине плотности потока энергии I придать смысл векторной величины: . Величина , вектор плотности энергии волны, впервые была введена Н.А. Умовым в 1984 году и получила название вектора Умова. Подобная величина для электромагнитных волн называется вектором Умова - Пойнтинга.

Интенсивностью волны называется модуль среднего значения вектора Умова

БИЛЕТ №39 Свойства эл-м. волн

Электромагнитная волна - процесс распространения электромагнитного поля в пространстве. Согласно теории близкодействия Перемещение заряда меняет электрическое поле вблизи него. Это переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле в соседних областях пространства. Переменное же магнитное поле в свою очередь порождает переменное электрическое поле и т. д.

1. Распространяется с конечной скоростью.

2. В каждой точке пространства электрические и магнитные поля меняются во времени периодически. Чем дальше расположена точка от заряда, тем позднее достигнут ее колебания полей. Следовательно, на разных расстояниях от заряда колебания происходят с различными фазами.

3. Направления колеблющихся векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля перпендикулярны к направлению распространения волны.

4. Электромагнитная волна является поперечной. Ем⊥Еэл⊥V

5. Наличие ускорения - главное условие излучения электромагнитных волн.

О сновными свойствами электромагнитных волн являются:

1)поглощение; (1): если на пути волны проводник, то электромагнитные волны хорошо отражаются и частично поглощаются (приема нет)(2): если на пути волны диэлектрик, то прием хороший, то есть диэлектрик слабо отражает и слабо поглощает электромагнитные волны

2)рассеяние - возмущения волновых полей, вызываемые неоднородностями среды и помещёнными в эту среду рассеивающими объектами;

3)преломление; 4)отражение;

5)интерференция (взаимное усиление или ослабление волн (электромагнитных, звуковых и др.) при их наложении друг на друга;);

6)дифракция (явления, наблюдаемые при прохождении волн мимо края препятствия, связанные с отклонением волн от прямолинейного распространения при взаимодействии с препятствием.);

(1)при L много больше длины волны в области волновой тени приема нет (дифракция не наблюдается). (2)если L соизмерима с длиной волны, то в области волновой тени слабый прием существует (дифракция наблюдается)

7)поляризация - одно из фундаментальных свойств электромагнитного излучения, состоящее в неравноправии различных направлений в плоскости, перпендикулярной световому лучу (поперечно направлению распространения световой волны). (Явление направленного колебания векторов напряженности электрического поля E или напряженности магнитного поля H).

БИЛЕТ №40 Энергия эл-м. волн

Энергия электромагнитного поля выражается через объемную плотность энергии w, которая равна сумме объемных плотностей электрического (w_e) и магнитного (w_m) полей.Для электрического поля плотность энергии можно найти по формуле ,

где - электрическое смещение.

Для магнитного поля плотность энергии можно найти по формуле ,

где - магнитная индукция.

*Плотность потока электромагнитного излучения - электромагнитная энергия, переносимая за 1 с через площадку 1 кв.м перпендикулярно этой площадке

Отсюда плотность энергии электромагнитного поля равна

.

.

Так как векторы и взаимно перпендикулярны и образуют с направлением волны правовинтовую систему, то направление вектора совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH. Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется вектором Умова-Пойнтинга и равен

.

Вектор направлен в сторону распространения электромагнитной волны.

Импульс электромагнитного поля

Максвелл теоретически показал, что электромагнитные волны должны производить давление на встречающиеся на их пути тела. Опыты русского физика Лебедева подтвердили наличие давления электромагнитных волн. Поскольку имеется давление, то должен быть и механический импульс. Импульс электромагнитного поля

,

где W - энергия электромагнитного поля; c - скорость света.

Импульс можно выразить как p = mc, т.к. поле распространяется в вакууме со скоростью c. Получим , откуда имеем W=mc². (универсальный закон природы)

БИЛЕТ №41 Излучение электрического диполя

Процесс возбуждения электромагнитных волн какой-либо системой в окружающее пространство называется излучением этих волн, а сама система называется излучающей системой. Поле электромагнитных волн называется полем излучения.

Простейшей излучающей системой является электрический диполь, момент которого изменяется во времени по гармоническому закону ,

где - амплитудное значение . Примером может быть система, состоящая из покоящегося положительного заряда +Q и отрицательного заряда –Q, гармонически колеблющегося вдоль направления Р₀ с частотой ω.

Электрический момент диполя , где - вектор, соединяющий отрицательный и положительный заряды диполя (плечо диполя); g - абсолютное значение этих зарядов. Диполь излучает неодинаково в различных направлениях.

Интенсивность излучения диполя в волновой зоне системы, т.е. в точках, отстоящих от системы на расстояниях , равна , где - угол между осью диполя и направлением излучения; - длина волны излучения.

Задача об излучении диполя имеет в теории излучающих систем важное значение, так как всякую реальную излучающую систему (например, антенну) можно рассчитывать рассматривая излучение диполя. Кроме того, многие вопросы взаимодействия излучения с веществом можно объяснить на основе классической теории, рассматривая атомы как системы зарядов, в которых электроны совершают гармонические колебания около их положений равновесия.

Характер электромагнитного поля диполя зависит от выбора рассматриваемой точки. Особый интерес представляет так называемая волновая зона диполя — точки пространства, отстоящие от диполя на расстояниях r, значительно превышающих длину волны (r>>l), — так как в ней картина электромагнитного поля диполя сильно упрощается. Это связано с тем, что в волновой зоне диполя практически остаются только «отпочковавшиеся» от диполя, свободно распространяющиеся поля, в то время как поля, колеблющиеся вместе с диполем и имеющие более сложную структуру, сосредоточены в области расстояний r < l.

Если волна распространяется в однородной изотропной среде, то время прохождения волны до точек, удаленных от диполя на расстояние r, одинаково. Поэтому во всех точках сферы, центр которой совпадает с диполем, фаза колебаний одинакова, т. е. в волновой зоне волновой фронт будет сферическим и, следовательно, волна, излуча­емая диполем, есть сферическая волна.

В каждой точке векторы Е и Н колеблются по закону cos(wt—kr), амплитуды этих векторов пропорциональны (1/r) sinq (для вакуума), т. е. зависят от расстояния r до излучателя и угла q между направлением радиуса-вектора и осью диполя. Отсюда следует, что интенсивность излучения диполя в волновой зоне (164.1)

Зависимость (164.1) I от q при заданном значении r, приводимая в полярных коор­динатах (рис. 228), называется диаграммой направленности излучения диполя. Как видно из выражения (164.1) и приведенной диаграммы, диполь сильнее всего излучает в направлениях, перпендикулярных его оси (q = p/2). Вдоль своей оси (q =0 и q =p) диполь не излучает вообще. Диаграмма направленности излучения диполя позволяет формировать излучение с определенными характеристиками и используется при конструировании антенн.

БИЛЕТ №42 Отражение и преломление эл-м. волн на границе раздела двух диэлектрических сред

На практике распространение радиоволн происходит в средах с различными электрическими параметрами, границы раздела между которыми могут располагаться произвольным образом по отношению к направлению распространения электромагнитной волны. При этом падающая на границу раздела электромагнитная волна будет частично отражаться, а частично преломляться во вторую среду (рис. 4.1).

П лоскостью распространения (падения) называется плоскость, перпендикулярная к поверхности раздела сред и проходящая через направление распространения падающей волны. Электромагнитная волна с вектором , лежащим в плоскости распространения, называется параллельно или вертикально поляризованной волной. Если вектор перпендикулярен плоскости распространения, волна называется нормально или горизонтально поляризованной.

Углом падения j_пад (отражения j_отр) называется угол между нормалью к границе раздела и направлением распространения падающей (отраженной) волны. Углы g_пад и g_отр (рис. 4.1) называются углами скольжения, а угол j_пр — углом преломления.

Отражение и преломление электромагнитной волны любой поляризации на границе раздела двух сред подчиняются известным из курса физики первому и второму законам Снеллиуса, которые могут быть представлены соответственно в виде где n₁ и n₂ — коэффициенты преломления соответственно первой и второй сред. Если среды немагнитные (m=1), то где e₁ и e₂ — диэлектрические проницаемости сред.

Для характеристики отраженной и преломленной волн пользуются понятиями коэффициента отражения и коэффициента преломления , которые определяются выражениями

где — комплексные амплитуды напряженностей электрического поля соответственно отраженной, преломленной и падающей волн. Эти коэффициенты называются также коэффициентами Френеля и имеют различные значения для волн нормальной и параллельной поляризаций.

На рис. 4.2 показана зависимость модуля и фазы коэффициента отражения от угла скольжения для волн параллельной и нормальной поляризаций, падающих на границу раздела воздух-диэлектрик (пунктир) и воздух-полупроводник (сплошная линия).

Из графиков следует, что при малых углах скольжения g_пад = 0 для любой поляризации амплитуда отраженной волны приближается к амплитуде падающей, а фаза при отражении скачком изменяется на 180 °. При нормальном падении волны на границу раздела g = p/2 модули коэффициентов отражения при нормальной и параллельной поляризации равны |R_^| = |R _|||. Для всех промежуточных углов (0 < g < p/2) |R_^| > |R _|||.

Модуль коэффициента отражения нормально поляризованной волны монотонно уменьшается с ростом угла скольжения, при этом отраженная волна всегда существует. Для параллельно поляризованной волны существуют углы скольжения g_Б, при которых отраженная волна имеет минимальное значение, а при отражении от идеального диэлектрика отраженная волна отсутствует(R_||=0). Этот угол называется углом полного преломления или углом Брюстера j_Б. При распространении падающей волны в воздухе (e₁=1) e₂=tg²j_Б (4.5)

Если отражающая поверхность является идеально проводящей, то при любых углах падения и любой поляризации происходит полное отражение.