8. Методи доведення в логіці Буля

9.Висловлення. Операція над висловленнями.

Означення: приписування істиннісних значень атомам, з яких побудоване висловлення називається інтерпретація висловлення.

Висловлення – оповідне речення, про яке можна сказати, істинне воно чи хибне, але не те й інше одночасно.

Визначення: істина або хибність, приписана деякому висловленню, називається істинність значення цього висловлення.

Операції логіки висловлень – логічні зв’язки – розглядаються як формальні позначення зв'язок, що їм відповідають, природної мови.

Операції над висловленнями:

1. Заперечення. Заперечення ⌐ істинне тоді і тільки тоді,коли А хибне. Ця унарна операція відповідає запереченню у звичайній мові, яке може мати різні синтаксичні вирази.

2. Кон’юнкція. Висловлення А ˄ В, що називається кон’юнкцією А і В , істинне тоді і тільки тоді коли істинні обидва висловлення А і В. Ця логічна операція відповідає у природній мові зв’язці «і» , що з’єднує два речення.

3. Диз’юнкція. Висловлення А˅В, що називаються диз’юнкцією А і В, хибне тоді і тільки тоді, коли хибні обидва висловлення А і В.

Ця логічна операція відповідає поєднанню висловлень природної мови за допомогою зв’язки «або», що вжита у розумінні «або, що не виключає» : «правильне А, або правильне В, або обидва висловлення правильні».

4. Імплікація. Висловлення А→В, що називається імплікацією (умовним реченням), хибне тоді і тільки тоді, коли А істинне, а В хибне

В імплікації А→В висловлення А називається засновком (умовою, антецедентом), В – наслідком (висновком, консеквентом). Причинно – наслідковий зв'язок між А і В, що виражається імплікацією, на природній мові описується такими зворотами: «якщо А, то В», «А є достатньою підставою для В», «В,тому що А», «В, за умови висловлення А», «А тягне В» тощо.

5. Еквівалентність (еквіваленція). Якщо А і В висловлення, то висловлення А – В істинне тоді і тільки тоді, коли А і В або обидва істинні , або обидва хибні. Ця операція відповідає і природній мові зворотом: «..тоді і тільки тоді , коли …»,

« для того щоб…, необхідно і достатньо…».

10. Формули алгебри висловлень. Таблиці істинності формул.

Операції ˄, ˅, →, ↔ є бінарними логічними зв’язками, на відміну від операції ⌐ яка є унарною. Користуючись введеннями логічними зв’язками, можна з елементарних висловлень будувати складні висловлення, що називаються формулами або молекулами.

Означення: в логіці висловлень правильно побудована формула визначається рекурсивно таким чином:

1. Атом є формула.

2. Якщо А і В – є формули , то (А˄В), (А˅В), (А→В), (А↔В)і ⌐ А- також формули.

3. Ніяких формул, крім породжених визначеними вище правилами, не існує.

Формули логіки висловлень, що відповідають складним висловленням, приймають значення 1 або 0 залежно від значень елементарних висловлень, з яких вони побудовані , і логічний зв'язок.

Формули логіки висловлень можна задати таблицями істинності подібних до булевої функції .

А	В	А	В	А˄ В	А˅В	А→В	А↔В
0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	1	1	1	1