2.5. Прогнозирование на основе регрессии

Построенное уравнение регрессии, обладающее приемлемым статистическим качеством, может быть использовано для содержательных выводов по исследуемой взаимосвязи, а также для прогнозирования значений результирующей переменной при заданных значениях объясняющих переменных.

Итак, пусть уравнение регрессии имеет вид:

,

А сама модель является статистически значимой в целом.

При заданных значениях объясняющих переменных х₁=х_р1, …, х_m=x_pm путем подстановки этих значений в построенное уравнение может быть найдена точечная прогнозная оценка результирующей переменной у:

.

Интервальная прогнозная оценка результирующей переменной определяется доверительным интервалом прогноза, который, как и в случае парной линейной регрессии, имеет вид:

,

где - точечная прогнозная оценка, t_табл – табличное значение критерия Стьюдента для определенного уровня значимости, а стандартная ошибка прогноза может быть рассчитана следующим образом:

, (2.13)

где – стандартная ошибка регрессии, – вектор-строка заданных значений объясняющих переменных (с добавленной впереди единицей).

Для примера параграфа 2.3 осуществим прогноз выпуска y при затратах труда x₁=120 и капитала x₂=60 и определим доверительные интервалы прогноза:

,

, , ,

.

Для числа степеней свободы равного 5 и уровня значимости 0,05 значение t_табл=2,57, т.е. доверительный интервал прогноза будет иметь вид:

,

.

Воздействие отдельных факторов на результирующий признак отражается в значениях коэффициентов построенного уравнения ,…, , а также в значениях частных коэффициентов эластичности переменной у по каждой из объясняющих переменных, которые в случае линейной множественной регрессии имеют вид:

, i=1,2,..,m.

Как и в случае парной регрессии, коэффициент эластичности определяет на сколько процентов изменяется значение результирующей переменной у, если переменная x_i изменится относительно некоторого значения на один процент при фиксированных значениях прочих объясняющих переменных.

2.6. Нелинейные модели множественной регрессии

В силу многообразия и сложности экономических процессов ограничиться лишь рассмотрением линейных регрессионных моделей невозможно. Многие экономические зависимости являются нелинейными по своей сути. Для их описания могут быть использованы нелинейные регрессии.

Классификация, приведенная для нелинейных моделей парной регрессии (в параграфе 1.7), имеет место и для нелинейных моделей множественной регрессии. Точно так же основной принцип действия с нелинейной моделью состоит в попытке преобразования ее к линейной. После чего оценка параметров и проверка качества полученной линеаризованной модели осуществляется стандартными методами, описанными в предыдущих параграфах главы. После получения оцененного уравнения линеаризованной регрессии при условии обеспечения приемлемого статистического качества обычно осуществляется обратное преобразование, и уравнение записывается в естественном виде: .

Заметим, что в этом случае частные коэффициенты рассчитываются по формулам:

, i=1,2,..,m.

Среди всевозможных нелинейных моделей выделим два достаточно распространенных класса – логарифмических

(2.14)

и полулогарифмических моделей:

, (2.15)

. (2.16)

Модели (2.15) часто называют лог-линейными, а модели (2.16) линейно-логарифмическими.

Заметим, что модель (2.14) отражает степенную зависимость между объясняющими и результирующей переменной, а модель (2.15) - экспоненциальную зависимость. Действительно, если, например, было получено эмпирическое уравнение логарифмической модели

,

то после операции потенцирования оно сводится к уравнению

,

где .

Перечисленные модели можно рассматривать как естественные альтернативы линейной модели, оценка параметров которых и проверка качества осуществляются аналогичными методами. При этом критерием выбора оптимальной модели может быть какой-нибудь статистический показатель, например, коэффициент детерминации.