ВОПРОС № 1

Предмет теории вероятности. Пространство элементарных событий. Алгебра событий

По форме проявления причинных связей, законы природы и общества делятся на 2 класса: детерминированные (подчиняющиеся определенным законам) и статистические (явления, результаты которых мы предсказать не можем). К статистическим явлениям применяют слово «вероятно».

Теория вероятности – это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Например, модель роста числа жителей даёт теория вероятности, а конкретные данные – это статистика.

На теорию вероятностей опирается математическая статистика, задача которой состоит в том, чтобы по ограниченным данным восстановить с определенной степенью достоверности характеристики, присущие генеральной совокупности (т.е. всему мыслимому набору данных, описывающему изучаемое явление).

Определение

Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте.

Все возможные в данном опыте исходы составляют множество Ω, которое называется пространством элементарных исходов или элементарных событий.

О. Событие – это произвольный набор элементарных исходов, или произвольное подмножество множества элементарных исходов Ω.

События обозначают латинскими буквами A, B, H… Для наглядности события изображают на диаграмме Венна. Геометрически она совершенно не верна, но удобна для демонстрации множеств.

О. Событие, происходящее всегда ( при любом элементарном исходе ) называется достоверным и обозначается Ω.

О. Невозможное событие не происходит никогда (не содержит ни одного элементарного исхода). Обозначается как пустое множество .

Действия над событиями

О. Пересечение (произведение) двух событий A и B называется событие C, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно 2 события A и B (состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат и A, и B).

О. 2 события называются совместными, если они пересекаются.

О. 2 события называются несовместными, если они не пересекаются.

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого.

О. Объединением (суммой) 2х событий A и B называется событие C, происходящее тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий A или B (состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств.

Сумма событий вовсе не означает сложение исходов!

О. Разностью двух событий A и B называется событие C, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие A, но не происходит событие B (состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат A, но не принадлежат B.

О. Симметрической разностью двух событий A и B называется событие C, представляющее объединение

Пример

А: «Выпадение не менее 2х очков при бросании кубика». B: «Выпадение не более 4х очков» Найти

ДЗ:

Пользуясь диаграммой Венна, показать справедливость формул де Моргана.

О. можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов Ω, замкнутую относительно счётного числа теоретико-множественных операций.

О. Множество событий A1, A2,…An называют полной группой событий, если они попарно несовместны и появление одного и только одного из них является достоверным событием.

ВОПРОС № 2

Элементы комбинаторики. Понятие случайного события. Классическое определение вероятности.

Комбинаторика изучает способы подсчёта числа элементов в различных конечных множествах.

Пример

ШПС

ШСП

ПШС

ПСШ

СШП

СПШ

Определение

Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов. Обозначаются перестановки P_n. P₃=6

Теорема

Число перестановок множества из n-ных элементов равно:

P_n=n! (факториал – произведение всех натуральных чисел начиная с единицы)

P_n=1∙2∙3∙…∙n

Пример:

1,2,3,4 Сколько можно составить двузначных чисел

12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43

Ответ: 12

Размещениями называют множества, выбранные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Обозначение:

Число размещений из n элементов по k равно:

В хоккейном турнире участвуют 6 команд. Каждая команда должна сыграть с каждой 1 игру. Сколько игр сыгранно в турнире?

Определение

Сочетаниями из n различных элементов по k называются множества, которые отличаются хотя бы одним элементом. Обозначаются сочетания

Теорема

Число сочетаний из n по k:

По определению 0!=1. Факториал относится к натуральным числам, поэтому считается, чо упорядочить 0 объектов можно единственным образом.

При решении задач комбинаторики используются следующие правила:

1. Правило суммы: если некоторый объект A может быть выбран из множества объектов m-способами, а другой объект B может быть выбран n-способами, то выбрать либо A, либо B можно m+n способами («или» это +)

2. Правило произведения: если некоторый объект A может быть выбран из множества объектов m-способами, и после каждого такого выбора объект B может быть выбран n-способами, то пара объектов AB в указанном порядке может быть выбрана m∙n способами («и» это ∙)

Принцип математической индукции –

Утверждение P(k) зависящее от натурального числа k справедливо при любом k из N, если утверждение P(k) справедливо при k=1

Для всякого l из N из справедливости P(l) следует справедливость P(l+1).