Закон распределения дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Функция распределения.

О. Переменная величина, значение которой зависит от случайного исхода испытаний, называется случайной величиной.

О. Дискретная случайная величина принимает значения конечной или бесконечной числовой последовательности (счётного множества).

О. Непрерывная величина может принимать значения всех действительных чисел некоторого промежутка.

Случайные величины обозначаются X, Y, Z; их значения – x₁, x₂,…x_n.

Пример:

X: выигрыш игрока x1=0; x2=50; x3=100

p1 = 4/6; p2=1/6; p3=1/6

О. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между значениями этой величины x₁, x₂,…x_n. и их вероятностями p1, p2,… pn.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично или аналитически.

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

P(X=x_k)=p_k

Вероятность того, что случайная величина примет значение x_k = p_k.

Для наглядности, закон распределения дискретной случайной величины изображается графически. Для этого в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (x_k;p_k)и соединяют их последовательно отрезками. Полученная ломаная называется многоугольником распределения.

Задача:

X	0	50	100
P	4/6	1/6	1/6

Пример

Бросают 2 игральных кубика. Построить закон и многоугольник распределения случайной величины Z – сумма выпавших очков.

Z: сумма выпавших очков

X	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Рис2

Проверкой качества установлено, что вероятность брака детали q=0,25. p=0,75. Составить закон распределения числа пригодных деталей из взятых наудачу 6-ти.

X: число пригодных деталей из 6-ти

X	0	1	2	3	4	5	6
P	0,25^6=0,002	C6^1=0,25^5*0,75=0,004	C6^1=0,25^5*0,75^2=0,039	C6^2=0,25^4*0,75^3=0,132	C6^3=0,25^3*0,75^4=0,297	C6^4=0,25^2*0,75^5=0,356	C6^5=0,25^1*0,75^6=0,178

M(X)=0∙0,002+1∙0,004+2∙0,039+3∙0,132+4∙0,297+5∙0,356+6∙0,178=4,5

О. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений, её значений на их соответствующей вероятности: M(X)=x₁p₁+x₂p₂+…x_np_n (среднее значение с учётом вероятности).

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y)

2. M(X-Y)=M(X)-M(Y)

3. M(C)=C

   1. Следствие: M(M(X))=M(X)

4. M(C∙X)=C∙M(X) C-const; X-случайная величина

5. M(X∙Y)=M(X)∙M(Y) X и Y – независимые случайные величины

6. Значение математического ожидания случайной величины X заключено между её наименьшем и наибольшем значением: x₁≤M(X)≤x_n

Пример

№1 сулит прибыль 50 млн. в 40% случаев

№2 сулит прибыль 80 млн. в 20% случаев

X	0	50
P	0,6	0,4

Разброс между крайними величинами = 20

X	0	80
P	0,8	0,2

Разброс между крайними величинами =16

M(X)=0,6*0+50*0,4=20 M(Y)=0,8*0+0,2*80=16

О. Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X)=M(X-M(X))²

Для дискретной случайной величины дисперсия равна:

D(X)= p₁(x₁-M(X))²+…+pn(x_n-M(X))²

Для задачи:

D(X)= 0,0002*(0-4,5)²+0,0004*(1-4,5)²+…=1,125

О. Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметический квадратный корень из её дисперсии

Свойства дисперсии:

1. D(C)=0

2. D(C*X)=C²D(X)

3. D(X+Y)=D(X)+D(Y)

ВОПРОС № 8

Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.