- •1.Векторная функция скалярного аргумента
- •2. Кривые в пространстве, длина кривой.
- •3.Две леммы о векторной функции скалярного аргумента.
- •4.Сопровождающий трехгранник кривой.
- •5.Соприкасающаяся окружность. Кривизна и кручение кривой.
- •6. Формулы Френе.
- •7. Вычисление кривизны и кручения
- •1. Натуральная параметризация.
- •2. Произвольная параметризация.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Уравнение касательной плоскости имеет вид
- •9. Первая квадратичная форма поверхности
- •Площадь поверхности.
- •10.Криволинейные системы координат.
- •2) Сферическая система координат.
- •11.Дифференцирование скалярного поля.
- •12.Дифференцирование векторного поля.
- •13)Оператор Гамильтона. Дифференцирование произведений.
- •14.Дифференциальные операции второго порядка над полями.
- •15)Поверхностный интеграл первого рода.
- •21.Инвариантное определение операций div, grad, rot…
- •28.Ряды Фурье по общим ортогональным системам.
- •30.Замкнутость и полнота ортогональных систем функций. Замкнутость тригонометрической системы.
- •32.Интегральная формула Фурье.
1.Векторная функция скалярного аргумента
Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная и интеграл Римана вектор-функции.
Будем рассматривать трёхмерное Евклидово пространство , т.е. пространство, в котором определена операция скалярного произведения. Говорят, что в задана векторная функция , определённая на множестве , если для каждого ставится в соответствие (причём - одномерное множество).
Рассмотрим случай, когда -отрезок. В введём ортонормированный базис . Тогда вектор можно разложить по данному базису: , где , , - проекции вектора на соответствующие орты. назовем пределом векторной функции в точке , если (1). Так как под знаком предела стоит модуль, то это скалярная величина. Обозначим этот предел как . (но подразумевать под этим выражением будем выражение (1)). Если , то можно доказать следующее утверждение:
Теорема 1: является пределом функции в точке тогда и только тогда , когда , , . Доказательство.
Непосредственно из опр. имеем: . Очевидно, что правая часть равенства (2) стремиться к 0, так как , , при . Так как каждая из скобок стремиться к 0, то и левая часть равенства (1) стремиться к 0, что и требовалось доказать.
В екторная функция называется непрерывной в точке , если .
Векторная функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке отрезка.
Из непрерывности функции следует непрерывность её компонентов , , и наоборот.
Производной векторной функции в точке t называется:
. Производная обозначается несколькими эквивалентными способами: , . Вторая производная определяется как производная от первой .
Выберем точку и отложим от неё множество векторов (см. рис. 1). Кривая, которую образуют концы векторов, называется годографом.
Р ассмотрим более подробно два соседних вектора и их разность (см. рис. 2). Очевидно, что вектор при начинает скользить по годографу. То есть геометрическим смыслом производной является вектор, лежащий на касательной к годографу.
Для того, что бы функция была дифференцируема, необходимо выполнение равенства : ,
где .
Свойства производной.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
Теорема 2: Если , то вектор перпендикулярен вектору .
Доказательство. Из условия теоремы имеем: . Продифференцировав это равенство, получим: , что и требовалось доказать.
Используя равенство , можно разложить векторную функцию в ряд Тейлора:
.
2. Кривые в пространстве, длина кривой.
Понятие прямая так же как и понятие точки первичны и не определяются. Рассмотрим отображение некоторой точки в трехмерное пространство и обозначим его . Будем говорить, что отображение непрерывно, если , такое, что если , то . Если отображение непрерывно в каждой точке М, то оно непрерывно и на всём множестве М.
Непрерывное отображение отрезка в пространстве называется линией в пространстве. Также под линией будем понимать образ, полученный при таком отображении. Линии в пространстве удобно описывать в виде , причём если эти векторы откладывать от одной точки.
Рассмотрим случай, когда образы двух векторных функций совпадают, то есть , , где , . Эти две линии определяют одну линию, если существует монотонная функция , , , такая что .
Линию назовем гладкой, если векторная функция (где ), определяющая эту линию, имеет непрерывную производную во всех точках отрезка .
Всякая гадкая линия, заданная уравнением (где ), имеет конечную дину, которая может быть вычислена по следующей формуле: . Когда в качестве параметра выбрана длина линии ,то говорят, что линия задана в натуральной параметризации, а сам параметр l называется натуральным параметром.
Линия L, заданная уравнением , называется кусочно-гладкой, если отрезок можно разделить на конечное множество отрезков, на каждом из которых линия будет гладкой.
Кривая L называется спрямляемой, если множество длин всевозможных ломанных, вписанных в кривую указанным выше образом, ограничено. Точная верхняя грань этого множества называется длиной дуги кривой.
Свойства длины дуги кривой:
1◦. Если кривая L1 является частью спрямляемой кривой L, то кривая L1 также спрямляема.
2◦Если кривая L разбита точкой N на две спрямляемые части L1 и L2, то кривая L спрямляема и для длин дуг кривых L1, L2 и L справедливо соотношение L1 + L2 = L
3◦ Обозначим через l(t) длину дуги кривой L соответствующей значениям параметра из отрезка[a, t]. Функция l(t) строго монотонна и непрерывна на отрезке [a, b] и положительна при t > a. Если выполнены условия теоремы 1.4, то функция l(t) имеет вид
Пусть r’ (t) != 0. Тогда существует функция t = t(l), обратная к функции l = l(t) и дифференци-
руема столько раз, сколько и функция r(t).Функция l(t) называется натуральным параметром кривой.