Вопрос 1

1. Числовые множества. Множеством называется совокупность объектов, обладающих одинаковым указанным свойством. x ϵ Х – x является элементов множества. Х ⊆ Y: Х подмножество Y, т.е. всякий элемент множества Х является элементов множества Y. Х=Y: элементы множеств одинаковы. Х∪Y – сумма(Объединение) множеств, всякий элемент которого является элементом Х или элементом Y: Х∪Y Пусть Х={-6, -3, 0, 3, 6}, Y={0,2, 4, 6, 8}. Тогда X∪Y = {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}. Аналогично определяется объединение большего числа множеств. Объединением множеств А1, А2, А3, …, Аn называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А1, А2, А3, …, Аn. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству; в этом случае множества А и В называются непересекающимися. Пересечение множеств обозначается символами "∩" и "·" (знак умножения): С = А∩В или С = АВ.Пересечением множеств А1, А2, А3, …, Аn называется множество, состоящее из элементов, входящих в каждое из множеств А1, А2, А3, …, Аn.

2. Границы числовых множеств. Число М называется верхней границей множества Х, если для любого элемента выполняется неравенство (любой хϵХ:х<=М), если существует верхняя(нижняя) граница, то верхних границ бесконечное множество. Среди всех верхних границ существует наименьшая М0, среди всех верхних границ существует наибольшая m0=infX. Любой хϵХ:х<=M0; E- какое-нибудь число. Тогда М-Е<M; E>0; Верхней границей правильных дробей является 1. Опр: Множество называется ограниченным, если оно ограничено с двух сторон, т.е. любое хϵХ m<=x<=M. Теорема:Для того, чтобы функция была ограничена, необходимо и достаточно, чтобы существовало числоk>o, такое, что для любого числа существует |х|<=k.

3. Функцией (отображением мн-ва Х на мн-во Y) называется правило или закон, по которому каждому элементу из Х поставлен в соответствие элемент из Y, при этом всякий элемент из Y является поставленным в соответствие хотя бы одному элементу из Х; х-аргумент, y-значение функции; Х-ООФ, Y- область значений функции.

4. Различают 4 способа задания функции:

1. табличный Состоит в простом перечислении элементов функции f, т.е. при этом способе указывается значение аргумента x и соответствующе значение функции y=f(x)

Удобен, когда f --конечное множество, когда же f бесконечное, указывается лишь избранные пары (х,у).

Достоинства: точность, быстрота, по таблице значений легко найти нужное значение функции.

Недостатки: неполнота, отсутствие наглядности.

2. аналитический (формулы) Является наиболее важным для МА (мат.анализа), поскольку методы МА (дифференциального, интегрального счисления) предполагают этот способ задания. Одна и та же функция может быть задана различными формулами: y=∣sin(x)∣ y=√1−cos2(x) Часто при этом способе задания функции область определения не указывается, тогда под областью определения понимается естественная область определения, т.е. множество всех значений x при которых функция принимает действительное значение. Частным случаем аналитического способа задания функции является задание функции уравнением вида F(x,y)=0 (1) Если это уравнение обладает свойством, что ∀x∈Дсопоставляется единственное y, такое, что F(x,y)=0, то говорят, что уравнение (1) на Д неявно задает функцию. Еще один частный случай задания функции -- параметрический, при этом каждая пара (x,y)∈f задается с помощью пары функций x=ϕ(t),y=ψ(t) где t∈M.

3. графический Область определения -- проекция данного графика на Ох, а множество значений -- проекция Д(f) на Оу. Применяется в медицине, технике.

Достоинство: наглядность.

Недостаток: неточность.

4. словестный Отношение f, по которому каждому х находящееся соответствие у описывается словесно. Например, y=[x] : x из R (Целой частью х из R называют любое целое число не превосходящее х).

Достоинство: можно воспользоваться когда первые три не срабатывают.

Недостаток: ненаглядность.

5. Графики простейших функций

6. Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа 4 арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: многочлен, рациональная, степенная, показательная и логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические.

7. Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х. Если же, например, у = , u = sinx, то у = , причём, если ограничиваться действительными значениями функции, С. ф. у как функция х определена только для таких значений х, для которых sin ³ 0, то есть для , где k = 0, ± 1, ± 2,...

Производная С. ф. равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на С. ф. с двумя, тремя и т. д. промежуточными аргументами.