Вопрос 7

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn > b, однако при этом предел a может оказаться равным b

Вопрос 8

Пусть функции f₁(x),f₂(x),f₃(x) имеют общую область задания и f₁(x) ≤f₂(x) ≤f₃(x). Тогда, если при х->c функции f₁(x) и f₃(x) имеют пределом число l, то и f₂(x) имеет при х->с предел l.

Если функции ф1 (х) ф2(х) ф3(х) имеют общую область задания, и ф1х <= ф2х <=ф3х ,тогда если при х стремящимся к с ф1х и ф2х =l то и ф2х=l

Вопрос 9

Вывод формулы

Вопрос 10

Под числовой последовательностью x1, x2, x3, x4…., xn понимается функция xn =f(n), заданная на множестве N натуральных чисел.

Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа E найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn-a|<E. В этом случае пишут lim xn(x->∞)=lim xn=a или хn->a и говорят, что последовательность { xn } имеет предел, равный числу а.

Экспонента — показательная функция exp(x) = ex, где e — основание натуральных логарифмов (e=2.7182818284590452...).

Вопрос 11

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция б.м. Отношение двух б.м.ф. есть функция б.м. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу. Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть α=α(х) и β=β(х) есть б.м.ф. при х->x0, т.е. lim α(x)=0(x->x0) и limβ(x)=0(x->x0)

1. Если lim (α/β)=A=!0, то α и β называются б.м. одного порядка малости

2. Если lim (α/β)=A=0, то α называется б.м. более высокого порядка малости, чем β

3. Если lim (α/β)=A=∞, то α называется б.м. более низкого порядка малости, чем β

4. Если lim (α/β) не существует, то α и β называются несравнимыми.

Теорема. Предел отношения двух б.м. функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей б.м. Пусть α~α` и β~β` при х->x0. Тогда lim(α/β)= lim((α/β)*(α`/α`)*(β`/β`))=lim(α/α`)* lim(β`/β)* lim(α`/β`), т.е. lim(α/β)= lim(α`/β`) (везде x->x0).