- •Вопрос 1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3.
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Вопрос 7
- •Вопрос 8
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Вопрос 23
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25
- •25)Производная функция задана параметрически
- •Вопрос 26
- •Вопрос 27
- •Вопрос 28
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 32
- •Вопрос 33
- •Вопрос 34
- •Вопрос 35
- •Вопрос 37
- •Вопрос 38
Вопрос 15
Вопрос 16
Производная.
Пусть x и x+∆x – точки, лежащие внутри области задания функции y=f(x). Найдем значения f(x) и f(x-∆x) в этих точках и составим разность ∆f(x) = f(x-∆x)-f(x). Затем сравним приращение функции с приращением аргумента, то есть найдем предел
Этот предел называют производной или производной первого порядка от функции f по аргументу x и обозначают f'(x), или y'. Производная – предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю:
f'(x)=
Не всякая функция может иметь производную.
Уравнение касательной и нормали
Если ф-ция в нек. Точке имеет производную, то в этой точке сущ касательная.
Используется уравнение пучка прямых, получаем ур. Касательной:
(x,y)-текущ. Координаты кос. Провед. В (X₀, Y₀):
Y – f(Xo)=F’(X₀)(x - X₀)
Прямая проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной -- нормаль.
Из перпендикулярности => k=-1/k=-1/f(x)
Y-f(x)=-1/f(x)*(x-X₀)
Геометрический и физический смысл Производной
Физ смысл:
Приращение ф-ции к приращению аргумента при приращении аргумента→0
Геометрич смысл:
Производная- это угловой коэффициент касательной:
y-f(x₀)=f’(x₀)*(x-x₀)
касательная в точке М ―прямая занимающая предельное положение МТ секущей ММ1,
двигаясь по кривой, неограниченно приближаясь к точке М.
Вопрос 17
Пусть y=f(u) и u=£(x), тогда y=f(£(x)) –сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.
y=logax. Для неё обратной функцией является х=ay, то по формуле производной обратной функции имеем: (logax)=1/(ay)’=1/ay*lna=1/x*lna
Вопрос 18
Теорема 20.6. Если функция у = f(x) строго монотонна на интервале (а; b) и имеет неравную нулю производную f'(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х = р(у) также имеет производную р'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством p'(y) =1/ f'(x) или х'у = 1/y’x
Рассмотрим обратную функцию х = p(у). Дадим аргументу у приращение ∆у=! 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х ф=! 0 в силу строгой монотонности функции у = f(x). Поэтому можно записать . .
∆x/∆y=1/∆y/∆x
Если ∆у —>• 0, то в силу непрерывности обратной функции приращение ∆x -» 0. И так как lim = f'(х)=! 0, то из следуют равенства
lim ∆x/∆y =1/lim,( ∆y/∆x)=1/ f'(x) т. е. р'(у) = 1/ f'(x)
Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
y'x= 1/x'y или dy/dx=1/dx/dy
Пусть y=arcsin(x). Обратная ей функция имеет вид x=sin(y), yϵ(-П/2;П/2). На интервале (-П/2;П/2) верно равенство x’=cos(y)=!0. По правилу дифференйирования обратных фкнуций (arcsin(x))’=1/(sin(y))’=1/cos(y)=1/sqrt(1-sin2(y))=1/sqrt(1-x2), где перед корнем взят знак +, т.к. cos(y)>0 при yϵ(-П/2;П/2). Итак, (arcsin(x))’=1/sqrt(1-x2)
Вопрос 19
Под неявным заданием функций понимают задание функции в виде уравнения F(x,y)=0, не разрешенного относительно y. Всякую явно заданную функцию можно записать, как неявную, заданную уравнением f(x)-y=0, но не наоборот. Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение, относительно y(например, y+2x+cosy-1=0)
Если функция задана уравнением F(x,y)=0, то для нахождения производной от y по x нет необходимости разрешать уравнение относительно y: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию x, и полученное затем уравнение разрешить относительно y’
Производная неявной функции выражается через аргумент x и функцию y.
Пример. Найти производную функции y, заданную уравнением x3+y3-3xy=0
Решение. Функция y задана неявно. Дифференцируем по x равенство x3+y3-3xy=0. Из полученного отношения 3x2+3y*y’-3(y+x*y’)=0 следует, что y2y’-xy’=y-x2, т.е. y’=(y-x2)/(y2-x).
Путь функция y=f(x) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0. Продифференцировав это уравнение по x и разрешив полученное уравнение относительно y’, найдем производную первого порядка. Продифференцировав по x первую производную, получим вторую производну. От неявно заданной функции. В неё войдут x,y,y’. Подставляя уже найденное значение y’ в выражение второй производной, выразим y’’ через x и y. Аналогично поступаем для нахождения производной третьего и т.д. порядка.
Пример Найти y’’, если x2+y2=1
Решение. Дифференцируем x2+y2-1=0 по x: 2x+2y*y’=0. Отсюда y’=-(x/y). Далее имеем: y’’=-((1*y-x*y’)/y2, т.е. y’’=-((y-x(-x/y))/y2).