- •Вопрос 1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3.
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Вопрос 7
- •Вопрос 8
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Вопрос 23
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25
- •25)Производная функция задана параметрически
- •Вопрос 26
- •Вопрос 27
- •Вопрос 28
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 32
- •Вопрос 33
- •Вопрос 34
- •Вопрос 35
- •Вопрос 37
- •Вопрос 38
Вопрос 33
33.1)1-ое достаточное условие экстремума
Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой бета-окрестности крит точки x0 и при переходе через нее(слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума; с минуса на плюс- точка минимума.
2)если в точкех0 первая производная функции f(x) равна нулю,а вторая производная в этой же точке сущ. И отлична от 0, то при второй производной меньше 0 в точке х0 ф-ция имеет максимум
И миниму при второй производной больше 0
Вопрос 34
Исследование направления выпуклости.
Вторая производная. Если производная f ' ( x ) функции f ( x ) дифференцируема в точке ( x0 ), то её производная называется второй производнойфункции f ( x ) в точке ( x0 ), и обозначается f '' ( x0 ).
Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f (x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f (x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:
если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );
если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.
Определение: функция f(x) выпукла вверх (вниз) на промежутке [a,b], если на этом промежутке любая касательная к ее графику лежит не ниже(не выше) графика. Т1:Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вверх, необходимо и достаточно чтобы на этом промеж ее произв убывала. Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вниз, необходимо и достаточно чтобы на этом промеж ее произв возрастала. Т2: Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вверх, необходимо и достаточно чтобы на этом промеж выполнялось условие f’’(x) ≤0. Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вниз, необходимо и достаточно чтобы на этом промеж выполнялось условие f’’(x) ≥0.
П р и м е р . |
Рассмотрим график функции y = x3 :
Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6x, но 6x > 0 при x > 0 и 6x < 0 при x < 0,следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x <0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x3. |
Вопрос 35
Точки перегиба – точки, разделяющие промежутки с различными направлениями выпуклости. В точках перегиба f’(x) меняет характер монотонности, а f’’меняет знак.
Условия существования
Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то .
Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и , и при , а , то функция f(x) имеет в x0 точку перегиба.
Точки, не являющиеся точками перегиба: точка разрыва, точка возврата, угловая точка