Вопрос 12
Т1. Разность двух эквивалентных б.м.ф. есть б.м. более высокого порядка, чем каждая из них. Пусть α~β при х->х0. Тогда lim(1-(β/α)=1-lim(β/α)=1-1=0.
Т2.Сумма конечного числа б.м.ф. разных порядков малости эквивалентна слагаемому низшего порядка. Пусть α->0 и β->0 при х->x0, причем α – б.м.ф. высшег порядка, чем β, т.е. lim (α/β)=0 при x->x0. Тогда lim((α+β)/β)=lim(α/β+1)=lim(α/β) + 1=0+1=1 (везде x->x0). Следовательно (α+β)~β при x->x0. Слагаемое, эквивалентное сумме б.м.ф. , называется главной частью этой суммы. Замена суммы б.м.ф. называется отбрасыванием б.м. высшего порядка.
Вопрос 13
Понятие непрерывности функции.
Введем разности ∆x=x-x0 и ∆f(x0)=f(x0)- f(x), которые будем называть соответственно приращениями аргумента и функции в точке x0.Ясно,что f(x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда разность ∆f(x0)→0 при ∆x0 →0. Это дает нам возможность дать такое определение непрерывности: Функция f(x) непрерывна в точке x0 , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Теорема 1.
Если
функции f(x)
и g(x)
непрерывны в точке x0,
то в этой точке непрерывны f(x)±g(x),
f(x)g(x)
и 
,
если g(x)≠0.
Док-во. Это теорема является частным
случаем о пределах суммы, разности,
произведения и частного. Действительно,
непрерывность f(x)
и g(x) в точке
x0 означает, что f(x)
→ f(x0)
и g(x)→ g(x0
) при x→x0
. Тогда f(x)±g(x)→
f(x0)±g(x0),f(x)g(x)
и 
,
если g(x0)
≠0. Тем самым, теорема доказана.
Вопрос 14
Понятие непрерывности функции.
Введем разности ∆x=x-x0 и ∆f(x0)=f(x0)- f(x), которые будем называть соответственно приращениями аргумента и функции в точке x0.Ясно,что f(x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда разность ∆f(x0)→0 при ∆x0 →0. Это дает нам возможность дать такое определение непрерывности: Функция f(x) непрерывна в точке x0 , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Теорема 1.
Если
функции f(x)
и g(x)
непрерывны в точке x0,
то в этой точке непрерывны f(x)±g(x),
f(x)g(x)
и 
,
если g(x)≠0.
Док-во. Это теорема является частным
случаем о пределах суммы, разности,
произведения и частного. Действительно,
непрерывность f(x)
и g(x) в точке
x0 означает, что f(x)
→ f(x0)
и g(x)→ g(x0
) при x→x0
. Тогда f(x)±g(x)→
f(x0)±g(x0),f(x)g(x)
и 
,
если g(x0)
≠0. Тем самым, теорема доказана.
Теорема2. – билет о непрерывности сложных функций.
Пусть y=f(x), y0 =f(x0), z=g(y), z0 =g(y0). Тогда если f(x) непрерывна в точке x0 , а g(y) непрерывна в точке y0 , то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке x0 , то есть суперпозиция непрерывных функций непрерывна. Док-во. Возьмем x0 и найдем y0 , по которому получим z0 . Дадим x0 некоторое приращение ∆x0 . Оно вызовет приращение ∆y0 , которое в свою очередь, породит приращение ∆z0 . Если ∆x0 →0, то ∆y0 →0 из-за непрерывности функции f. Но при ∆y0 →0 ,будет ∆z0 →0, так как непрерывна функция g. Таким образом, оказывается ∆z0 →0 при ∆x0 →0. Значит, суперпозиция непрерывна. Теорема доказана.
Точкой разрыва функции f(x) называют такую точку х0, в которой нарушается правило
1)Оба предела существуют и равны, но не равны f(x0) ,то есть f(x0 – 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0). В этом случае точку x0 называют устранимой точкой разрыва Действительно, если мы доопределим f , положив f(x0) = f(x0 – 0) = f(x0 + 0), то она станет непрерывной
2)Оба предела существуют, но они не равны, то есть f(x0 – 0) ≠ f(x0 + 0). В этом случае точку x0 называют точкой разрыва первого рода. Заметим, что в этом случае значение f(x0) нас не интересует.
Разность f(x0 – 0) - f(x0 + 0) называется скачком функции f в точке разрыва.
Пример.
1 при х > 0
1(х)={
0 при х < 0
Очевидно, что 1(+0) = 1, 1(-0),то есть x0 = 0 является точкой разрыва первого рода, причём скачок функции в этой точке равен 1. Эту функцию называют единичной функцией, или функцией единичного скачка, или единицей Хевисайда.
Функция Хевисайда оказывается очень удобной при описании физических ли технических процессов, начинающихся в некоторый момент
Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода. Ясно, что в точке разрыва второго рода хотя бы один из пределов f(x0 – 0) и f(x0 + 0) не существует.