Вопрос 26
Пусть функцияf(x) имеет производнуюf’(x) на интервале(a, b),
если в точке Xo на интервале ф-ция принимает мин или макс знач
=> f’(Xo)=0.
Вопрос 27
Теорема Рὁлля.
Если функция f (х) непрерывна на отрезке а ≤ х ≤ b, имеет внутри его определённую производную, а на концах принимает равные значения f (a) = f (b), то её производная f '(x) по меньшей мере один раз обратится в нуль в интервале (a, b),
т. е. существует такое с (где a < с < b), что f’(с) = 0. Как следствие получается, что между двумя последовательными корнями функции имеется хотя бы один корень её производной.
. Функция f(x) постоянна на интервале [а, b]; тогда f ' (с) = 0 для любого с (a < с < b), т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически.
Вопрос 28
Теорема Лагранжа.
Если f(x) непрерывна на [a;b] и дифференцируема на [a;b], то существует точка c, принадлежащая отрезку [a;b], такая что справедливо равенство
F(b)-f(a)=(b-a)*f `(c)
Доказательство:
Соединим AB
Начинаем двигать AB (До касательной параллельной AB)
Касательная параллельна AB => tgα=tgβ (α=β)
= f `(c) BD = f(b)-f(a) AD = b-a
Следствие.
Если f(x) имеет f `(x) на [a;b], то внутри промежутка найдется точка c, в которой будет выполнятся равенство (Формула конечного приращения):
Вопрос 29
Теорема Коши.
Пусть даны две функции С, непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b)
-
производные 
и 
не обращаются в ноль одновременно на
интервале (a,b)
- 
тогда
, где C 
(a,b) 
Доказательство
Для
доказательства введём функцию 
Для
неё выполнены условия теоремы Ролля
“(Теорема Ролля :Если функция непрерывна
на отрезке [a;b]
и дифференцируема на интервале (a;b),
принимает на концах этого интервала
одинаковые значения, то на этом интервале
найдётся хотя бы одна точка, в которой
производная функции равна нулю.)” : на
концах отрезка её значения равны f(a).
Воспользовавшись упомянутой теоремой,
получим, что существует точка c, в которой
производная функции F равна нулю, а 
равна как раз необходимому числу.
Вопрос 30
Правило Лопиталя. Примеры.
Метод
нахождения пределов функций, раскрывающий
неопределённости вида 0/0 и 
.
Обосновывающая метод теорема утверждает,
что при некоторых условиях предел
отношения функций равен пределу отношения
их производных.
На
промежутке [a;b] заданы две функции 
и 
,
имеющие производные, причём f(a)=g(a)=0.
Т.к. эти фу-ции имеют производные, то они
непрерывны, а потому
и 
при 
.
Значит
если предел отношения производных
существует.
используя теорему Коши(Теорема
Коши.
,
где C
(a,b)
),
получим 
,
где a
< c
< x
Ясно,
что 
при
,
поэтому
Но
Значит,
Примеры :
1.)
2.)
=
“можно применить правило Лопиталя 3
раза (а лучше разделим на x 3)”
=
Вопрос 32
32.Экстремум- значение функции в точке максимума(минимума).Достаточное условие экстремума-ЕСЛи дифферинцируемая ф-ция у=f(x) имеет экстремум в точке x0, то ее производная в этой точке равна нулю: f`(x0)=0
Экстремумы, их необходимые и достаточные условия
1 Функция f(x) имеет мин в точке x₀, если сущ такая окрестность этой точки (x₀-δ, x₀+δ),
Что для∀ x∈(x₀-δ,x₀+δ) выполняется условие f(x₀)<=f(x).
2 Функция f(x) имеет мин в точке x₀, если сущ такая окрестность этой точки (x₀-δ, x₀+δ),
Что для ∀x∈(x₀-δ,x₀+δ) выполняется условие f(x₀)<=f(x).
Теорема о необходимом условии экстремума:
Если дифференцируемая функция f(x) в точке x₀ имеет экстремум, то f’(x)=0.
Это равенство необходимо, но не достаточно для сущ экстремума в точке x₀,
Т.к если при переходе ф-ции через точку x₀ знак производной не поменяется =>
Значит функция продолжает убывать или возростать и в этой точке нет ни min ни max!
Теорема о достаточном условии экстремума:
Если производная f’(x) меняет знак с + на - ―при переходе через точку x₀, то в точке x₀
ф-ция f(x) имеет max.
Если производная f’(x) меняет знак с - на + ―при переходе через точку x₀, то в точке x₀
ф-ция f(x) имеет min.