- •Числовые ряды.
- •Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
- •Свойства сходящихся рядов
- •Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •Числовые ряды с неотрицательными членами.
- •Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
- •Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •25. Функция нескольких переменных
- •26. Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных
- •29. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значения.
- •30.Частные производные функции нескольких переменных.
- •31. Дифференцируемость ф-и нескольких переменных
- •39. Градиент. Свойства градиента.
- •40.Частные производные высших порядков.
- •41. Теорема о равенстве смешанных производных.
- •42. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в формуле Лагранжа.
- •43. Локальные экстремумы функций нескольких переменных.
- •48. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
- •Оглавление
30.Частные производные функции нескольких переменных.
Пусть дана ф-я Z=f(x;y), функция двух переменных, которая определена в некоторой ε окрестности точки (х0; у0)
▲х=х-х0, ▲у= у-у0 => для ¥ (х;у) € Uε(х0; у0), (х;у)=( х0 +▲х; у0 + ▲у)
Рассмотрим ▲хZ = f (х0 + ▲х; у0)- f (х0 ;у0) (частное приращение ф-ии Z по Х)
▲уZ = f (х0 ;у0+▲у) - f (х0 ;у0) (частное приращение ф-ии Z по У)
Частной производной ф-ии Z=f(x;y) попеременной х в т. (х0; у0) наз-ся , а по переменной у(х0; у0) называется
Обозначение
31. Дифференцируемость ф-и нескольких переменных
Определение. Функция f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) (или сокращенно ), если справедливо равенство:
f(x, y)=f(x0, y0) + A(x - x0) + B(y - y0) + где - некоторые константы, а
Зафиксируем одну из переменных, например: y=y0. Тогда f(x0, y0) будет функцией от x и равенство (1) примет вид: f(x0, y)=f(x0, y0) + A(x - x0) + B(y - y0) + o(x - x0). Следовательно, число A есть производная функции f(x0, y) в точке x=x0. Эта производная обозначается так: и называется частной производной f(x, y) по x в точке (x0, y0). Аналогично: Таким образом условие дифференцируемости функции f(x, y) в точке (x0, y0) можно представить в виде:
f(x, y)=f(x0, y0) ++ +
Функция может быть дифференцируема по каждой из переменных в отдельности и при этом не быть дифференцируемой по совокупности переменных.
32. Дифференциал функции нескольких переменных.
Г лавная линейная относительно Δx и Δy часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) . Таким образом,
dz = Z!xdx + Z!Ydу полный дифференциал
33. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных.
Теорема :Пусть функция f(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0) и f(x, y), Тогда
34. Непрерывность дифференцируемой функции.
Если дифференцируема в точке (х0; у0) то Z= f(x) непрерывна в т. (х0; у0).
35.Однородные функции.
Функция у = f(Xl,x1,...,xn) называется однородной степени а, если для любой точки (х1,х2, …xn) из области определения D(f) и для любого положительного числа t точка (txl, tx2,...,txn) тоже принадлежит D(f), и справедливо равенство
f(txl,tx2,...,txn) = ta*f(xl,x2,...,xn).
36. Формула Эйлера для однородной функции.
f 'x (х, у)х+ f 'y (х, у)y = a f (х, у)
37. Производная сложной функции.
где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна
38. Производная по направлению.
Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:
Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .
Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!