- •Предел и непрерывность функции одной переменной
- •2. Окрестности конечной точки и бесконечности
- •3. Определение предела функции
- •3.1. Предел функции на языке окрестностей
- •Если для такое, чтодля3.2. Предел функции на языке неравенств
- •3.3. Предел последовательности
- •5. Бесконечно малые функции
- •5.1. Определение и основные свойства
- •5.2. Отношение бесконечно малых. Неопределенность
- •5.3. Первый замечательный предел
- •5.4. Сравнение бесконечно малых
- •6. Бесконечно большие функции
- •6.1. Определение и основные свойства
- •6.2. Неопределенности
- •6.3. Неопределенность . Второй замечательный предел
- •7. Непрерывные функции
- •7.1. Функции, непрерывные в точке
- •7.2. Точки разрыва функции и их классификация
- •7.3. Функции, непрерывные на отрезке
- •Дифференциальное исчисление функции
- •Дифференцируемые функции. Дифференциал
- •8.4. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
- •8.5. Производная суммы, произведения, частного
- •8.6. Производная сложной функции
- •8.7. Логарифмическое дифференцирование
- •8.13. Дифференциалы высших порядков
- •9.2. Правило Лопиталя
- •9.3. Формула Тейлора
- •9.4. Асимптотические разложения
- •10.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •10.4. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
- •10.5. Асимптоты графика функции
- •Свойства неопределенного интеграла
- •13. Основные методы интегрирования
- •13.1. Метод подведения под знак дифференциала
- •Метод замены переменной
- •Метод интегрирования по частям
- •14. Интегрирование некоторых классов функций
- •14.2. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •14.3. Интегрирование дробно-рациональных функций
Предел и непрерывность функции одной переменной
Понятие предела является одним из важнейших понятий математического анализа. Основные понятия математического анализа, такие как производная, интеграл, связаны с предельным переходом.
Для сокращения записи мы будем использовать символы − любой и− существует. Запись:означает « для всякого элементаимеет место предложение». Запись:означает «существует элемент, для которого имеет место предложение». Записьозначает « из предложенияследует предложение». Записьозначает, чтоиэквивалентны.
Для изучения пределов используется понятие окрестности точки.
2. Окрестности конечной точки и бесконечности
1).-окрестность конечной точкиобозначими определим как множество действительных чиселтаких, что(рис.1):
2).-окрестность бесконечностиобозначими определим как множество действительных чиселтаких, что(рис.2). Итак,
.
3
4).-окрестность минус бесконечности определим (рис 4) как
.
5). Введём понятиевыколотой окрестности точки, которая получается из окрестностиудалением точки:
3. Определение предела функции
3.1. Предел функции на языке окрестностей
Рассмотрим функцию и предположим, что аргументстремится к числуЕсли для всех , достаточно близких к,соответствующие значения функциикак угодно близкик числу, то числоназывают пределом функциипри; записывают это следующим образом:
или при.
Определение предела функции(на языке окрестностей)
Число называется пределом функциипри, если для любого положительного числанайдётся положительное числотакое, что значения функциипринадлежат-окрестности точкидля всехиз выколотой-окрестности точки
Это определение распространяется и на случаи, когда и (или)− «несобственные числа»В дальнейшем это определение будем записывать кратко с помощью символов следующим образом:
Если для такое, чтодля3.2. Предел функции на языке неравенств
Рассмотрим несколько случаев.
1). Пусть и– конечные числа. Тогда
означает, что ;
означает, что
и определение предела принимает вид:
если для такое, что , как только |
2). Пусть -конечное число. Тогда
означает, что ,
означает, что
и определение предела принимает вид:
если для такое, что , как только |
3). Пусть конечное число. Тогда
означает, что ,
означает, что
и определение предела принимает вид:
если для такое, что , как только |
3.3. Предел последовательности
Числовая последовательность – это значения функции натурального аргумента, расположенные в порядке возрастания аргумента
…,…
Другое обозначение последовательности: .
Примеры последовательностей:
1) , 2).
Предел последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции, а именно функции натурального аргумента при(обычно пишут), т.е.
если для такое, чтодля |
Если предел последовательности существует и конечен, то последовательность называют сходящейся. Если предел последовательности не существует или бесконечен, то её называют расходящейся
3.4. Предел функции на языке последовательности
Теорема 3.1.Предел функцииравенпритогда и только тогда, когда для любой последовательности,cходящейся ки, соответствующая последовательность значений функциисходится к:
для |
3.5. Односторонние пределы функции
Пусть конечное число. В определении предела функции аргументстремится клюбым способом: колеблясь около, оставаясь меньшеили больше. Иногда важен способ приближенияк: слеваили справа. Тогда вводят понятие левостороннего пределаи правостороннего пределаследующим образом:
если для такое, чтодля
если для такое, чтодля
Сформулируем очевидное утверждение:
|
4. Теоремы о функциях, имеющих конечный предел
Пусть число или один из символов
Теорема 4.1 (о единственности предела). Если существует конечный предел функции при, то он единственен. |
Теорема 4.2. (об ограниченности функции, имеющей конечный предел).
Если функция имеет конечный предел при , то она ограничена в некоторой выколотой окрестности точки.
Теорема 4.3 (о пределе монотонной ограниченной последовательности).
Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел при.
Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел при.
Теорема 4.4 (о сохранении неравенства).
Если тов некоторой выколотой окрестности точки
Если тов некоторой выколотой окрестности точки
Теорема 4.5 (о предельном переходе в неравенстве).
Пусть существует .
Если в некоторой выколотой окрестности точки, то.
Если в некоторой выколотой окрестности точки, то.
Теорема 4.6 (о промежуточной функции). Пустьив некоторой выколотой окрестности точки Тогда. |
Теорема 4.7 ( о пределе суммы, произведения, частного).
Пусть существуют конечные пределы и. Тогда
1) , 2),
3) , 4)если.
Теорема 4.8 (о пределе сложной функции).
Пусть есть суперпозиция функцийи. Если существуют конечные пределыи, то существует предел сложной функцииприи.
Для формулировки теоремы о пределе элементарной функции отметим, что элементарная функция получается из основных элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической, обратных тригонометрических) с помощью арифметических операций и суперпозиции.
Теорема 4.9 (о пределе элементарной функции). Пусть элементарная функцияопределена в точкеиeeокрестности. Тогда. |