Геометрические преобразования плоскости

§17 Понятие геометрического преобразования плоскости. Группа геометрических преобразований. Групповой подход к классификации геометрий.

Геометрические преобразования плоскости (ГПП) имеют важное значение в науке и в методике. Значимость в научном плане определяется тем, что они лежат в основе классификации геометрий, а именно: каждой группе ГПП соответствует своя геометрия. Так, например, элементарная геометрия изучает свойства фигур, сохраняющихся при движениях и подобиях плоскости; аффинная геометрия изучает свойства фигур, сохраняющихся при аффинной группе преобразований; топология- при топологических преобразованиях, и т.д. То есть каждой группе преобразований соответствует своя геометрия. Этот подход впервые был предложен известным немецким математиком Феликсом Клейном.

Методическая значимость ГПП состоит в том, что они являются методом решения многих геометрических задач.

Определение 17.1: Взаимнооднозначное отображение плоскости на себя называется ГПП.

Определение 17.2: Последовательное выполнение двух или нескольких преобразований называется композицией.

и -ГПП

Из определения 17.1 и 17.2 следует, что композиция двух преобразований – снова преобразование, и композиция преобразований ассоциативна, но не коммутативна.

(ассоциативный закон)

Определение 17.3: Множество геометрических преобразований плоскости G является группой, если вместе с любыми двумя преобразованиями из G в это множество включается их композиция и для любого преобразования из G в это множество включается ему обратное.

Определение 17.4: Если композиция двух преобразований есть тождественное преобразование, то каждое из них называется обратным другому.

и

Из определений (17.1) и (17.2) следует, что множество ГПП образует группу.

Действительно, -ГПП(опр.17.1), и -ГПП, следовательно -группа(опр.17.3).

Групповой подход к классификации геометрии состоит в следующем: каждой группе ГПП соответствует своя геометрия, так , группа движений и подобий определяет элементарную евклидову геометрию.

§18 Движения. Их свойства. Основная теорема о движениях. Движения первого и второго рода.

Определение 18.1: ГПП, при которых сохраняется расстояние между любыми двумя точками, называется движением(D).

D(AB)= AB=

Свойства движений:

1) точки, лежащие на прямой, в движении переходят в точки, лежащие на прямой и сохраняется порядок их взаимного расположения.

, , С лежит между А и В

Доказать: , лежит между и

Доказательство:

=> между

=> .

2) В движении прямая, луч, отрезок переходят соответственно в прямую, луч, отрезок.

Доказательство следует из определения (18.1) и свойства 1).

3) Множество движений плоскости образует группу.

3.1)

3.2) т.к.

Из 3.1 и 3.2 => -группа.

4) точки, не лежащие на одной прямой, в движении переходят в точки, не лежащие на одной прямой.

образуют

Доказательство методом от противного:

Пусть , но т.к. -движение, тогда имеем, что точки, лежащие на одной прямой преходят в точки, не лежащие на одной прямой, что противоречит свойству 1.

5) В движении ортонормированный репер переходит в ортонормированный репер (доказательство по определению 18.1 и свойству 2)

6) (Теорема о задании движения двумя ортонормированными реперами)

Если заданы два ортонормированных репера и , длины базовых векторов равны ( ), то существует

Зададим , где

Пусть и - произвольные точки плоскости,

, в .

в .

=> - движение.

, ,

.

7) Движение однозначно определяется двумя ортонормированными реперами, у которых длины базисных векторов равны.

8) Движение однозначно определяется двумя равными треугольниками.

9) (Координатное задание движения)

, где ,

Найти формулы движения - это все равно, что найти зависимость между координатами и в . Но, т.к. по свойству 6) , то нахождение искомых формул сведется к нахождению формул перехода, а они имеют вид:

(18.1)

если и одинаково ориентированны.

(18.2)

если и противоположно ориентированны.

Где - координаты точки в старом репере

- координаты точки в новом репере

Применив (18.1) и (18.2) для , получим формулы движения:

(18.3)- движение первого рода

или (18.4)- движение второго рода

Определение 18.2: Движение, определенное формулой (18.3),

Называется движением первого рода, а движение, определенное формулой (18.4), называется движением второго рода.

Вывод: все движения разбиваются на два рода: