§26 Признаки движений.

Теорема 26.1: Движение первого рода, имеющее инвариантные точки, является поворотом.

Доказательство: (методом «от противного»)

Допустим, что такое движение не является поворотом, тогда на основании следствия (2) оно является переносом, а перенос инвариантных точек не имеет, а значит, получили противоречие с условием. Что и требовалось доказать.

Теорема 26.2: Движение первого рода, не имеющее инвариантных точек, является переносом.

Доказательство: (аналогично (26.1)).

Теорема 26.3: Движение второго рода, имеющее хотя бы одну инвариантную точку, является осевой симметрией.

Теорема 26.4: Движение второго рода, не имеющее инвариантных точек, является скользящей симметрией.

§27 Гомотетия и ее свойства.

Определение 27.1: Гомотетией с центром в точке S и коэффициентом называется такое преобразование плоскости на себя, при котором , что .

1) Способы задания:

Из определения (27.1) следует, что однозначно определяется заданием и , или и .

2) Формулы:

Пусть в , , , ,

 (27.1)

=> (27.2)

3) Выясним, как изменяется расстояние между точками в гомотетии:

, , ,

,

Вывод: в гомотетии расстояние между любыми двумя точками изменяется на одно и то же число, равное .

4) Взаимное расположение прямых.

,

Доказательство: (методом координат)



Вывод: - прямая, т.е. прямая в гомотетии переходит в прямую ( и они параллельны).

5) Инвариантные точки:

Гомотетия имеет единственную инвариантную точку- центр гомотетии.

§28 Подобие.

Определение 28.1: Подобие – такое преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в .

,

Теорема 28.1: Любое подобие можно представить в виде композиции гомотетии с тем же коэффициентом и движения.

Доказательство:

(по свойству гомотетии §27)

(определение 28.1)

|

=>

Следствие 1: В подобии прямая, луч, отрезок переходят соответственно в прямую, луч, отрезок.

Следствие 2: В подобии угол переходит в равный ему угол.

Следствие 3: Подобие однозначно определяется заданием двух ортонормированных реперов , , таких, что | .

Следствие 4: Подобие однозначно определяется двумя подобными треугольниками (или тремя парами соответствующих точек, таких, что , , ).

Определение 28.2: Подобие, представимое композицией гомотетии и движением первого рода, называется подобием первого рода , а движением второго рода- подобием второго рода .

Из определения 28.2 и свойств движения следует теорема 28.2:

Теорема 28.2: Подобие первого рода равно композиции гомотетии и поворота с общим центром

Теорема 28.3: Подобие второго рода равно композиции гомотетии и осевой симметрии

,

Теорема 28.4: Множество подобий плоскости образует группу

Доказательство:

=> =>

, =>

=> - группа.

На основании идеи Феликса Клейна, предметом изучения евклидовой геометрии является множество свойств, сохраняющихся при образовании групп подобия. Такие свойства, как равенство углов, понятие подобия треугольников, подобия фигур, равенства фигур, понятие биссектрисы, медианы, высоты треугольника являются понятиями евклидовой геометрии.

Направление практического использования подобия: в задачах на доказательство подобия; в которых рассматриваются подобные фигуры; в задачах на нахождение угла между прямыми.