38)Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть Ро{хо, yо; zo) фиксированная точка на поверхности Г, заданной функцией z = f{x;y) или уравнением F(x;y;z) = 0.

Касательной плоскостью к Г в точке Ро называется плоскость t, проходящая через точку Ро и такая, что угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через Ро и любую точку Р поверхности Г, стремится к нулю, когда Р стремится к Ро вдоль Г. Нормалью называется прямая n, проходящая через Ро перпендикулярно t.

Из определения t и n следует, что нормальный вектор касательной плоскости t и направляющий вектор прямой п совпадают.

Геометрический смысл

P 0(x0,y0,z0)—точка на графике. Mo(x0,y0)—проекция точки Р0 на Оху. z0=M0P0.

39)Производная сложной функции нескольких переменных.

Случай одной независимой переменной:

Предположим, что z = f{x;y) — дифференцируемая функция двух переменных х и у в некоторой области D, а аргументы х и у являются дифференцируемыми функциями некоторой переменной t, т. е. х = x(t), у = y(t). Тогда z = f[x(t);y(t)] = Фи(t) — функция одной переменной t.

Теорема 11.9. Имеет место равенство

Если t совпадает с одним из аргументов, скажем, t = x, то

и называется полной производной функции z пo x.

Случай нескольких независимых переменных

Если аргументы х и у функции z = f(x;y) являются функциями двух переменных, скажем, х = х(u v), у = у(u v), то z = f[x(u; v); у(u v)] также является функцией двух переменных и и v.

Теорема 11.10. Пусть z = f(x;y), x = х(u v), у = у(u v) —

дифференцируемые функции своих агрументов. Имеют место формулы

Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.

40)Производная неявной функции нескольких переменных:

Функция у = у(х) называется неявной функцией, если она определяется уравнением F(x\ у) = 0, неразрешенным относительно у.

Это значит, что при каждом значении хо> при котором неявная функция определена, она принимает единственное значение у о так, что F(xo;yo)=0.

41) Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Основные свойства неопределенного интеграла Везде далее предлагается, что все ассматриваемые неопределенные интегралы существуют.

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного

интеграла.

т. е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме

неопределенных интегралов от этих функций.

43) Таблица простейших интегралов

Следующие интегралы обычно называются табличными интегралами:

44) Интегрирование по частям (метод стрелок)

Пусть производные функций u(х) и v(x) существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство

Поскольку то формулу часто записывают в более компактном виде:

45) Метод подстановки (замена переменной)

Пусть требуется вычислить интеграл при этом функции непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки используя равенство