- •Физические основы деформирования и разрушения твердых тел.
- •1.Напряжения
- •Деформации.
- •3. Соотношение между напряжениями и деформациями в идеально-упругой среде.
- •4. Деформирование горных пород
- •4.1 Полные диаграммы деформирования и разрушения горных пород при одноосном сжатии и растяжении
- •4.2 Деформируемость и прочность породных массивов.
- •5. Теории разрушения.
- •5.1 Теория Кулона.
- •5.2 Теория Кулона - Навье.
- •5.3 Теория Мора.
- •5.4 Критерий пластического течения.
- •6. Теоретическая прочность.
- •7. Теория Гриффитса.
- •8. Распределение напряжений вокруг вершин острых трещин.
- •8. Распределение напряжений в окрестности вершин трещин при действии сжимающего напряжения
- •9. Влияние слабых плоскостей на разрушение твердых тел.
- •10. Распространение трещин в горных породах.
- •11. Об элементарных актах процесса, ведущего к разрушению твердых тел
- •12. Кинетическая теория прочности.
- •12.1 Тепловые флуктуации и их роль в процессе разрушения. Физический смысл величин τ0 и u0
Физические основы деформирования и разрушения твердых тел.
Давление, напряжение и деформации.
Взаимодействие в твердых телах приводит к образованию кристаллических решеток. Расположение узлов кристаллических решеток различно в разных направлениях. Поэтому любое усилие извне приводит к изменению расстояния между частицами, зависящее от направления действия силы и положения плоскости, в которой расположены узлы решетки.
Силовое воздействие на твердое тело вызывает изменение взаимного расположения частиц, что может характеризоваться изменением объема среды и его формы. До тех пор, пока не происходят необратимые нарушения в среде, после снятия нагрузки частицы возвращаются в исходное состояние.
В газообразных и жидких средах ближнее взаимодействие между частицами нарушается настолько, что кристаллическая структура утрачивается. В этом случае результат силового воздействия на среду не зависит от направления приложения сил.
В таких средах силовое взаимодействие между частицами определяет величину давления.
Давление есть сила, действующая на единичную площадку со стороны выделенного в среде объема. Эта сила не зависит от направления и является скалярной величиной.
1.Напряжения
П од напряжением понимается внутренняя сила действующая на единицу площади, имеющей определенную пространственную ориентацию (рис.1)
при
Сила величина векторная имеет три компоненты, например Fx,Fy,Fz.
Ориентация площадки определяется направлением единичного вектора .
П
Рис.1 Действие
силы
на
площадку
В прямоугольной системе координат сила полностью определяется ее компонентами вдоль трех осей Fx,Fy,Fz. Кроме того, необходимо ввести индекс, соответствующий направлению нормали к плоскости площадки.
Напряжение в сечении, проходящем через некоторую точку, можно разложить на две составляющие – нормальное, перпендикулярное к сечению, и касательное, в плоскости сечения. Направление нормальной составляющей является вполне определенным, здесь достаточно одного индекса, обозначающего направление нормали к площадке.
Касательную составляющую можно разложить на две составляющие, параллельные координатным осям.
Таким образом, тензор напряжения имеет 9 составляющих (Рис. 2) – 3 нормальных по отношению к координатным плоскостям и 6 касательных и является тензором напряжений второго ранга. Он записывается в виде:
Рис.2
Компоненты
напряжений
Поскольку выделенные участки тела находятся в равновесии, то две составляющие тензора напряжений направленные к одной и той же грани должны быть равны друг другу:
, ,
Таким образом, тензор напряжений является симметричным.
Напряженное состояние тела полностью определено, если известны значения шести компонентов напряжений в каждой точке. Зная компоненты в точке тела, можно вычислить напряжения в любой площадке проходящей через эту точку перпендикулярно к плоскости xy и наклоненной к осям x и y. Наиболее просто нахождение новых компонентов напряжений может быть рассмотрено для плоского напряженного состояния. В этом случае
Для площадки, нормаль к которой составляет угол с осью x может ?? быть новая координатная система с осями , . Ось направлена нормали к площадке (рис. 3).
В новой системе координат компоненты напряжений составят , определяемые соотношением:
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Таким образом, величины , , меняются в зависимости от угла . При определенных значениях величины , могут достигать минимума или максимума. При минимальном значении величина будет максимальной. Экстремальные значения , определяются условиями
Дифференцируя выражения (2) и (3) получим:
(1.5)
о ткуда (1.6)
Так как , то уравнения (6) дает два взаимных перпендикулярных направления. В одном из них величина
Рис.3 Напряжения в разных системах координат
Из выражений (2) и (3) следует, что . Такое же равенство суммы всех компонентов напряжений справедливо и для более общего трехмерного напряженного состояния:
где - первый инвариант напряжений.
Величину , называют средним нормальным и гидростатическим давлением.
Направления координатных осей, для которых две компоненты нормальных напряжений экстремальны, а касательные напряжения равны нулю, называется главными и обозначаются при этом Касательные напряжения максимальны в направлениях, которые делят пополам углы между главными осями. Их связь с главными нормальными напряжениями и между собой выражается соотношением:
Максимальные значения имеет величина . Если в качестве главных направлений для плоского напряженного состояния приняты оси x и y, то для площадки, нормаль к которой расположена под углом к оси x, компоненты напряжений в соответствии с формулами (2) и (3) определяется соотношением:
(1.7)
Соотношения (17) могут быть представлены в виде:
(1.8)
Зависимость и от угла можно изобразить с помощью графика, известного под названием круга Мора. Круг Мора строится следующим образом: на горизонтальной оси из произвольной точки O откладываются отрезки OA и OB, пропорциональные соответственно напряжениям и с учетом их знака (рис.4). На рис.4 оба напряжения приняты положительными, т.е. растягивающими. Из точки C, делящий отрезок AB пополам, как из центра, описывается окружность радиусом CA=CB. Полученная окружность и является кругом Мора. В общем случае главные напряжения не являются главными, а известны компоненты , . Тогда на горизонтальной оси откладываются отрезки OF` и OF, соответствующие в выбранном масштабе напряжений и . В точке F` восстанавливается перпендикуляр к OF и на расстоянии, пропорциональном , откладывается точка D`. Величина CD` равна радиусу круга Мора с центром в точке C. Тогда главные напряжения и определяются при пересечении круга Мора с горизонтальной осью, что соответствует величине угла =0. Угол определяется по графику круга Мора: угол между направлениями OC и CD с вершиной в точке C составляет 2 .
2α
Рис.4 Круг Мора