6. Теоретическая прочность.

Хрупкое разрушение можно рассматривать как разрыв межатомных или кристаллических связей с образованием двух новых поверхностей-берегов трещин. Одним из подходов к оценке прочности является рассмотрение условий для разрыва межатомных связей в монолитном образце. Такой подход приводит к значениям теоретической прочности на разрыв. Основой для большинства оценок теоретической прочности служит уравнение Орована. Орован принял синусоидальный закон для силы взаимодействия между соседними атомными плоскостями и вычислил упругую энергию, запасаемую в малой области трещины, когда происходит разделение этих плоскостей. Разделение образца с поперечным сечением 1 см приводит к образованию по крайней мере (если поверхности абсолютно гладкие) 2 см новой поверхности с удельной поверхностной энергией γ. Предположим, что минимальная работа, совершаемая для образования единицы площади поверхности трещины, равна 2γ; тогда выражение для необходимого результирующего напряжения σ_f примет вид:

Это выражение получается следующим образом.

Найдём работу деформации для достижения определённого изменения расстояния между двумя плоскостями.

A=

где r₁,r₂ - расстояние между атомами до и после деформации.

Пусть межатомные расстояния 2а_о, где а_о - радиус атома Смещение Δr связано с деформацией ε :

Δr=εa_о

Для упругой области состояний при одноосном растяжении закон Гука имеет вид

, т.е. Δr=

Найдем необходимую величину смещения (или деформации), обеспечивающую разрыв межатомных связей. Заметим, что если бы для разрушения необходимо было полностью разорвать межатомные связи, то атомы необходимо было бы разнести на такое расстояние, при котором отсутствует взаимодействие. При этом наступает диссоциация. Фактически для обеспечения разрушения нет необходимости разносить атомы так далеко друг от друга.

Рассмотрим взаимодействие между двумя соседними атомами. В отсутствие внешнего воздействия силы притяжения и отталкивания между атомами и валентными электронами уравновешиваются, когда атомы находятся на некотором расстоянии r_о друг от друга Между атомами действуют силы притяжения F₁ и сила отталкивания F₂.

(рис. 6.1). В результате сложения этих сил, суммарная сила имеет вид (рис.6.2). Действие силы приводит к перемещению частицы и совершению работы или к приобретению энергии W(рис 6.3)

W=

Отсюда видно, что при F=0, энергия имеет экстремум, т.е. энергия минимальна. Т.о., положению равновесия соответствует минимальное значение потенциальной энергии W межатомного взаимодействия. При увеличении расстояния между атомами (расстояние связи r-r₀=Δг) потенциальная энергия возрастает а сила притяжения старается вернуть атомы в исходное состояние. Чтобы разорвать связь, нужно удалить атомы на достаточное расстояние друг от друга, на котором сила притяжения станет равной нулю. Работа, затрачиваемая на разрыв связей, называется энергией диссоциации (Д).

Зависимость потенциальной энергии взаимодействия W от расстояния между атомами удовлетворительно описывается потенциалом Леннарда-Джонса:

Где значения показателей n и m, принимаются n=4,m=6 или n=6, m=10. Существует и более сложные потенциалы взаимодействия. Значение Fm называют пределом прочности связей. Достижение предела прочности, однако, не означает разрыва, связь между атомами остаётся и при дальнейшем увеличении Δr, т.к. при этом сила притяжения ещё не равна нулю.

Рис 6.2

Суммарная сила взаимодействия между частицами

Рис 6.1

Силы взаимодействия между частицами

- равновесное расстояние между частицами

- силы притяжения

- силы отталкивания

Рис 6.3

Энергия взаимодействия между частицами

Рис 6.4

Сила взаимодействия между частицами

при действии растягивающей нагрузки

Пусть на связь действует внешняя растягивающая сила f меньшая, чем предел прочности Fm (рис. 6.4). Тогда окажутся возможными два положения атомов, при которых сила взаимодействия равна нулю: при Δr₁=r₁-r_o и Δr₂=r₂-r_о. В положении Δr, равновесие устойчивое, в положении Δr₂ - неустойчивое. Чтобы перевести атом из положения устойчивого равновесия в неустойчивое необходимо затратить дополнительную энергию. Затраты энергии на перевод в состоянии неустойчивого равновесия зависит от величины приложенной нагрузки. При f=Fm упругая энергия составляет около 1/4 от энергии диссоциации. Для разрушения атомной связи кроме приложенного напряжения должна быть еще обеспечена достаточная энергоемкость разрушающего источника. Следовательно таким образом, кроме силового критерия разрушения (достижение предела прочности ) должен быть выполнен также и энергетический критерий. Оба эти критерия были успешно применены для объяснения разрушения: энергетической - Гриффетсом, силовой -Орованом. Как показал Орован, оба критерия обеспечивают практически одинаковые условия разрушения. При расчете идеальной прочности при одноосном растяжении иногда предполагают, что зависимость напряжения от смещения для любого твердого тела может быть представлена первой половиной периода синусоидальной кривой с начальным наклоном, характеризуемым модулем Юнга - Е. Решетка имеет также жесткость по отношению к сдвигу, μ. Е и μ определяются макроскопически, обычно для частично ориентированных кристаллов, которые предполагаются изотропными. В монокристаллах Е и μ изменяются с ориентацией кристалла по отношению к оси растяжения. При упрощенном вычислении идеальной прочности обычно кривую межатомная сила- расстояние перестраивают в кривую напряжение- деформация, вводя - понятие «атомной площади» и первоначального масштаба длины r_о. Кривая напряжения- деформация аппроксимируется полуволной синусоидально

σ=σ_maxsin(2πu/λ),

где, u- смещение от равновесного положения,

λ- длина волны, т.е. при u=λ/4, σ=σ_мах.

Полная площадь под этой кривой представляет собой работу и приравнивается поверхностной энергии 2γ. Отсюда.

(6.1)

В рамках линейной упругости

σ=σ_maxsin(2πu/λ)=Eu/a₀ (6.2)

Подставляя (6.1) в (6.2) и имея в виду, что

; ; ; u/a₀=ε; u= a₀ε;

λ=4u_m=4a₀ε=4a₀ ; ; ; получим:

(6.3)

Расчёты по соотношению (11) показывают, что значение идеальной прочности составляют (0,1 - 0,2)Е, где Е - модуль Юнга. Для некоторых материалов результаты расчётов представлены в таблице 6.1

Табл. 6.1

Идеальная прочность некоторых минералов

Материалы	Е,ГПа	γ, мДж/м	, ГПа	/E
Алмаз	1210	5400	205	0,17
SiO2	73	560	116	0,22
NaCl	44	115	4,3	од
А12Оз	460	1000	46	од

Такие расчёты были выполнены Полани и Орованом.

Расчёты прочности по приведённой схеме дают значения идеальной прочности на разрыв. Однако практика показывает, что разрушение происходит при значительно меньших напряжениях, прикладываемых к материалу. Дело в том, что при рассмотрении разрушения недостаточно рассматривать связь только двух изолированных атомов. При таком рассмотрении было ясно лишь то, что для разрыва связи требовалось подведение к ней энергии, равной энергии диссоциации связи, а сила растяжения должна достигать величены теоретической прочности связи F_m.