- •Способы задания движения точки. Вектор скорости и вектор ускорения точки.
- •Дайте определения траектории точки и уравнения движения её
- •3. Дайте определение скорости и ускорения точки: при векторном способе задания движения точки; при координатном и естественном способах.
- •4. Дайте определение понятия твёрдого тела.
- •5. Дайте определения поступательного и вращательного движений твёрдого тела.
- •7. При каких условиях вращательное движение тела ускоренное и при каких условиях – замедленное?
- •8. Какие частные случаи вращательного движений твёрдого тела Вы знаете?
- •9. Как рассчитываются скорость и ускорение точки вращающегося тела?
- •10. Дайте определение плоскопараллельного движения твердого тела.
- •11. Каким образом трактуют движение твёрдого тела при плоскопараллельном движении его?
- •12. Как рассчитывают скорость точки твёрдого тела при плоском движении?
- •13. Как определяют скорость точки тела с помощью мцс?
- •14. Какие частные случаи определения положения мцс Вам известны?
- •14. Как определяется элементарный импульс силы?
- •19. Как вводят понятие элементарной работы силы?
- •21. Сформулируйте теорему об изменении момента количества движения точки.
- •20. Сформулируйте теорему об изменении количества движения точки.
- •22. Как вычисляют работу силы тяжести, действующей на точку?
- •23. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии точки.
- •24. Как формулируется закон сохранения механической энергии точки?
- •25. Сформулируйте свойства внутренних сил механической системы.
21. Сформулируйте теорему об изменении момента количества движения точки.
Количество движения материальной точки - вектор, численно равный произведению массы точки на скорость ее движения и совпадающий с ней по направлению. Моментом количества движения точки относительно некоторого центра О называется векторная величина тоm0 (mv),
определяемая равенством где г — радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра О.
При этом вектор m0 (mv) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через mv и центр О, a ; для сравнения на нем показан и вектор
Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси Oz, проходящей через центр О, будет равен проекции вектора mo(mv) на эту ось: где у — угол между вектором m0 (mv) и осью Oz. Теорема моментов устанавливает, как изменяется со временем вектор mo(mv). Чтобы доказать ее, продифференцируем по времени выражение C5). Получим
Ho как векторное произведение двух параллельных векторов, a ma=F, где при действии нескольких сил В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого- нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. Сравнивая уравнении, видим, что моменты векторов mv и F связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы mv и F. Если спроектировать обе части равенства на какую-нибудь ось Oz, проходящую через центр О, то, учтя соотношение C6), получим Это равенство выражает теорему моментов относительно оси.
Из уравнения следует, что если mo(F)=0, то mo(mv)=const, т.е. если момент действующей силы относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная. Такой результат имеет место в практически важном случае движения под действием центральной силы. Теорема: векторная производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно полюса равна вектору момента силы, действующей на точку относительно того же центра.
Следствия:
1. если линия действия силы проходит через полюс. То момент количества движения относительно этого полюса постоянный;2. если момент силы относительно оси равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси постоянный.
20. Сформулируйте теорему об изменении количества движения точки.
Так как масса точки постоянна, а ее ускорение a=dv/dt, то уравнение, выражающее основной закон динамики, можно представить в виде Уравнение выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил *.
Пусть движущаяся точка имеет в момент времени t=0 скорость v0, а в момент t1 — скорость v1. Умножим тогда обе части равенства на dt и возьмем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегрирование идет по времени, пределами интеграла будут 0 и t1 а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствующие значения скорости v0 и v1. Так как интеграл от d(mv) равен то, то в результате
Стоящие справа интегралы, как следует из формулы, представляют собой импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будет Уравнение выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени. При решении задач вместо векторного уравнения часто пользуются уравнениями в проекциях. Проектируя обе части равенства
на координатные' оси, получим