Асимптоты функции
Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.
Вертикальные асимптоты
Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Некоторые особенности поведения функции в окрестности вертикальных асимптот представлено на рисунке. Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода В этом случае f( x0 ± 0) = ± ∞, или f ( x0 ± 0) = + ∞ , или f (x0 ± 0) = − ∞. Следует отметить, что в этом случае может отмечаться всё разнообразие поведения функции в окрестности точки разрыва. Например, на рис. 8.2 приведён график элементарной функции
. Рис. 8.2. Точка разрыва второго рода для данной функции определяется только справа
Горизонтальные асимптоты
Если
,
то у = b — горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при х стремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны).
Рис. 8.3. Примеры горизонтальных двухсторонних и односторонних асимптот
Наклонные асимптоты
Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y =k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями
, .
Для того, чтобы функция y = f (x ) имела асимптоту y = k ·x + b, н еобходимо и достаточно, чтобы существовали указанные выше конечные пределы.