- •Фізичні основи механіки
- •I. Попередні поняття. Загальні положення
- •II. Кінематика поступального руху
- •2.1. Задання положення матеріальної точки в просторі
- •2.2. Швидкість матеріальної точки
- •2.3. Прискорення матеріальної точки
- •2.4. Приклади розв’язування задач
- •III. Кінематика обертального руху
- •IV. Динаміка поступального руху
- •4.1. Класична механіка. Межі її застосування
- •4.2. Поняття сили. Перший закон Ньютона. Інерціальні системи відліку
- •4.3. Маса та імпульс тіла. Другий закон Ньютона
- •4.4. Третій закон Ньютона
- •4.5. Принцип відносності Галілея
- •4.6. Закон збереження імпульсу замкненої системи тіл
- •4.7. Реактивний рух
- •4.8. Приклад розв’язування задач
- •V. Енергія й робота
- •1. Енергія, робота і потужність
- •5.2. Енергія кінетична та потенціальна. Закон збереження енергії
- •5.3. Зіткнення двох тіл
- •5.4. Приклад розв’язування задач
- •VI. Неінерціальні системи відліку
- •6.1. Рух тіл відносно неінерціальних систем відліку. Сили інерції
- •6.2. Приклад розв’язування задач
- •VII. Динаміка обертального руху
- •7.1. Момент сили й пари сил відносно точки
- •7.2. Момент сили відносно осі
- •7.3. Момент імпульсу матеріальної точки
- •7.4. Закон збереження моменту імпульсу
- •7.5. Основне рівняння динаміки обертального руху
- •7.6. Вільні осі. Головні осі інерції. Моменти інерції різних тіл
- •7 .7. Тензор інерції
- •7.8. Кінетична енергія обертального руху тіла
- •7.9. Гіроскоп. Прецесія гіроскопа
- •7.10. Приклади розв’язування задач
- •VIII. Всесвітнє тяжіння
- •8.1. Закон всесвітнього тяжіння. Вільне падіння тіл
- •8.2. Поле тяжіння
- •8.3. Маса інерційна та маса гравітаційна
- •8.4. Космічні швидкості
- •8.5. Приклади розв’язування задач
- •Примітки
- •Література
4.8. Приклад розв’язування задач
Тіло ковзає по похилій площині, що утворює з горизонтом кут . Пройшовши відстань , тіло набуває швидкості . Визначити коефіцієнт тертя між тілом и площиною.
Розв’язування
Запишемо рівняння руху тіла по площині й рівняння, що зв'язує пройдений тілом шлях, швидкість і прискорення тіла:
Вирішивши ці рівняння відносно , знаходимо:
V. Енергія й робота
1. Енергія, робота і потужність
Основною умовою існування матерії є її рух, що проявляється у всіляких формах. Кожна форма руху має свою якісну й кількісну харак-теристику, міру. Так, мірою поступального руху тіла є його імпульс. Однак ця динамічна характеристика не є універсальною для всіх форм механічного руху, не говорячи вже про інші форми руху.
Встановлено, що всі форми руху, у тому числі і механічного, перетво-рюється одна на іншу в строго певних кількісних відношеннях. Саме ця обставина й дозволила ввести поняття про енергію, тобто вимірювати різні форми руху і взаємодії.Отже, можна сказати, що енергія – це загальна кіль-кісна міра руху й взаємодії всіх видів матерії. Поняття "енергія” – це одне з первинних понять.
Енергія механічної системи (тобто системи, що виконує механічний рух) кількісно характеризує цю систему з погляду можливих у ній кількіс-них й якісних перетворень руху. Зміна механічного руху, а значить, і енергії тіла, відбувається в процесі силової взаємодії цього тіла з іншими тілами. Для кількісної характеристики цього процесу в механіку вводять поняття роботи, спричиненої силою. Розглянемо рух матеріальної точки в силово-му полі. В деякій точці цього поля на розглянуту матеріальну точку діє сила . Якщо під дією цієї сили матеріальна точка пройшла шлях , то вели-чину
(5.1)
називають роботою сили на шляху . Тут – кут між напрямками векторів і , а - проекція сили на напрямок руху.
Робота, виконана силою на кінцевому шляху , дорівнює:
(5.2) Якщо на матеріальну точку діють кілька (n) сил, то елементарна робота цих сил буде дорівнювати алгебраїчній сумі робіт, спричинених кожною із сил:
(5.3)
а робота на кінцевому шляху буде рівна
(5.4)
Якщо робота , виконана силою при Рис. 5.1 переміщенні матеріальної точки з довільного положення 1 в положення 2 (рис. 5.1), не залежить від форми траєкторії, по якій відбувалось це переміщення: , то силу , яка діє на матеріальну точку, називають консервативною, а поле, в якому діють такі сили, називають потенціальними. Зміна напрямку руху точки уздовж траєкторії викликає зміну знака роботи. Отже, робота при переміщенні консервативною силою матеріальної точки по замкненому контуру тотожно дорівнює нулю:
(5.5)
Прикладами консервативних сил є сили всесвітнього тяжіння, сили пружності, сили електростатичні. З тотожності (5.5) випливає, що вираз , тобто елементарна робота консервативних сил, являє собою повний диференціал функції координат. Всі сили, які не задовольняють умову (5.5), називають неконсервативними або дисипативними. Той факт, що для робо-ти тотожність (5.5) виконується не завжди, відображається тим, що елемен-тарну роботу позначають не як , а як , хоча в усьому іншому з точки зору математичних перетворень ці позначення еквівалентні.
Для характеристики швидкості виконання роботи силою вводиться поняття потужності. Потужністю сили називають фізичну характе-ристику, яка чисельно дорівнює роботі, виконаній цією силою за одиницю часу:
(5.6)
Розмірність роботи та потужності в системі СІ: