- •Фізичні основи механіки
- •I. Попередні поняття. Загальні положення
- •II. Кінематика поступального руху
- •2.1. Задання положення матеріальної точки в просторі
- •2.2. Швидкість матеріальної точки
- •2.3. Прискорення матеріальної точки
- •2.4. Приклади розв’язування задач
- •III. Кінематика обертального руху
- •IV. Динаміка поступального руху
- •4.1. Класична механіка. Межі її застосування
- •4.2. Поняття сили. Перший закон Ньютона. Інерціальні системи відліку
- •4.3. Маса та імпульс тіла. Другий закон Ньютона
- •4.4. Третій закон Ньютона
- •4.5. Принцип відносності Галілея
- •4.6. Закон збереження імпульсу замкненої системи тіл
- •4.7. Реактивний рух
- •4.8. Приклад розв’язування задач
- •V. Енергія й робота
- •1. Енергія, робота і потужність
- •5.2. Енергія кінетична та потенціальна. Закон збереження енергії
- •5.3. Зіткнення двох тіл
- •5.4. Приклад розв’язування задач
- •VI. Неінерціальні системи відліку
- •6.1. Рух тіл відносно неінерціальних систем відліку. Сили інерції
- •6.2. Приклад розв’язування задач
- •VII. Динаміка обертального руху
- •7.1. Момент сили й пари сил відносно точки
- •7.2. Момент сили відносно осі
- •7.3. Момент імпульсу матеріальної точки
- •7.4. Закон збереження моменту імпульсу
- •7.5. Основне рівняння динаміки обертального руху
- •7.6. Вільні осі. Головні осі інерції. Моменти інерції різних тіл
- •7 .7. Тензор інерції
- •7.8. Кінетична енергія обертального руху тіла
- •7.9. Гіроскоп. Прецесія гіроскопа
- •7.10. Приклади розв’язування задач
- •VIII. Всесвітнє тяжіння
- •8.1. Закон всесвітнього тяжіння. Вільне падіння тіл
- •8.2. Поле тяжіння
- •8.3. Маса інерційна та маса гравітаційна
- •8.4. Космічні швидкості
- •8.5. Приклади розв’язування задач
- •Примітки
- •Література
7.9. Гіроскоп. Прецесія гіроскопа
Гіроскопом називають масивне симетричне тіло, що обертається з великою швидкістю навколо осі симетрії. Вісь симетрії є однією з го-ловних осей інерції. Тому, відповідно до рівняння , момент ім-пульсу гіроскопа збігається з віссю обертання. Цікаво поводиться гіроскоп у разі дії на нього моменту сили. Прикладемо до гіроскопа пару сил і (рис.7.14). Замість очікуваного повороту навколо осі відбувається по-ворот гіроскопа навколо осі . Це явище було названо гіроскопічним ефектом. Покажемо, що цей ефект повністю відповідає законам динаміки обертального руху.
У разі дії на гіроскоп моменту сил протягом проміжку часу момент імпульсу гіроскопа змінюється на величину: . У момент часу сумарний момент імпульсу гіроскопа буде рівним: і набере нового напрямку. Цей напрямок повинен збігатися з новим на-прямком осі обертання, внаслідок чого й відбувається поворот гіроскопа навколо осі до повного збігу векторів і , після чого поворот гіроскопа припиниться.
Г іроскопи мають поширене застосування в техніці. Наприклад, гіроскопічний ефект по-кладений в основу гіроскопічного компаса. Він являє собою гіроскоп, вісь якого може вільно повертатися в горизонтальній площині (рис.7.15). Під дією сил інерції, що виникають за рахунок обертання Землі, вісь гіроскопа (яка
слугує стрілкою компаса) повертається так, щоб кут між векторами та зменшувався. Це триває доти, поки цей кут не стане мінімальним, тобто поки вісь гіроскопа не встановиться в ме-
Рис.7.14 ридіальній площині.
Якщо на гіроскоп діє постійний за величи-ною момент сили, який увесь час слідує за віссю гіроскопа, то гіроскоп виконує рух, названий прецесією гіроскопа. Нехай гіроскоп із шарнір-ною опорою в точці О нахилений під кутом α відносно вертикалі z (рис.7.16). Момент сили тяжіння сприяє виникненню гіроскопічного ефекту, що спричинює прецесію гіроскопа, яка
Рис.7.15 полягає в тому, що вісь гіроскопа, з якою збігається вектор , описує конус (тобто повертається) навколо вертикалі z. Знайдемо частоту цього обертання (її називають частотою прецесії) при кутовій швидкості гіроскопа . Якщо за деякий проміжок часу площина, що проходить через вертикаль і вісь гіроскопа, повернеться на деякий кут , то частота прецесії буде дорівнювати:
. (7.41)
Зрозуміло, що вектор спрямований уверх уздовж осі z, і надалі всі обчислення проведемо в скалярній формі. При малому куті повороту дуга приблизно дорівнює хорді. Тоді на підставі рис. 7.16 знаходимо:
Підставивши це значення кута в рівняння (7.41), знайдемо частоту прецесії:
. (7.41)
Швидкість прецесії не залежить від кута нахилу гіроскопа.
Строго кажучи, у випадку прецесії момент імпульсу гіроскопа не збігається з віссю симетрії гіроскопа, оскільки гіроскоп оберта-ється із сумарною швидкістю і момент імпульсу буде дорівнювати . Однак швидкість прецесії набагато менша від швидкості обертання гіроскопа , й у Рис.7.16
першому наближенні при отриманні формули (7.42) прийнято, що . Розділимо все рівняння (7.42) на :
(7.43)
У рівнянні (7.43) величина пропорційна потенціальній енергії гіроскопа в полі тяжіння, а - кінетичній енергії обертального руху гі-роскопа. Умова означає, що потенціальна енергія гіроскопа в полі тяжіння досить мала порівняно з його кінетичною енергією обертання.