27 Обобщеные координаты.

Обобщенными координатами называют такие независимые друг от друга величины, заданием которых однозначно определяют положение всех точек этой системы. Число обобщенных координат равно числу степеней свободы. Все координаты системы можно выразить через обобщенные координаты и время движения.

Обобщенными силами называют такие величины, произведение которых на соответствующую обобщенную координату имеет размерность работы. Каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная сила. Имеем:

и

Подставить выражение в формулу для работы получим

Изменим порядок суммирования

Произведение, записанное в скобках имеет размерность работы. Значит, оно является обобщенной силой Следовательно

28Принцип возможных перемещений.

Для равновесия системы, находящейся под действием активных сил и подчиненной идеальным, стационарным, удерживающим и голономным связям, необходимо и достаточно чтобы сума работ всех активных сил на любом перемещении из предполагаемого положения равновесия была равна нулю. Пусть дано материальн. тело. На него действуют внешние и реактивные силы Система находится в равновесии, т.е. для каждой ее точки запишем уравнение равенства сил Умножив обе части равенства на и просуммировав получим уравнение работ или

Так как связи идеальные, то сумма работ реакций этих связей на данном возможном перемещении равна нулю. Следовательно получим

уравнение работ в векторной форме в координатной форме

29.Общее уравнение динамики.

Согласно принципу Даламбера сумма активных сил приложенных к системе плюс сумма реакций связей плюс сума сил инерции была равна 0.

k-номер характерной точки в системе или точки приложения силы.

Левые и правые части умножим на возможное перемещение.

В системе с идеальным связями

δА^R_i=0

Q_iⁿ- В конкретных примерах будет выступать в виде коэффициента который показывает степень влияния силы №к на выполняемую ей работу.

31.Уравнение Ла-Гранжа 2 рода.

Имеем общее уравнение динамики в обобщенных координатах так как обобщенные координаты линейно друг от друга не зависят, то равенство нулю возможно при условии что сумма в скобках равна нулю, т.е. следовательно получим уравнение Лагранжа 2 го рода

Это уравнение представляет собой записанное в математической форме правило составления дифференциальных урававнений движения материальной системы. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы системы.

Последовательность решения:

Составим уравнения Лагранжа

Определим обобщенные силы, соответствующие данным обобщенным координатам

Составим выражения для кинетической энергии системы

Подставим полученные выражения в уравнение

Находим частные производные от кинетической энергии системы по обобщенным координатам

Находим частные производные от кинетической энергии системы по обобщенным скоростям

Подставим все найденные выражения в искомое уравнение Лагранжа 2го рода, получим дифференциальные уравнения системы