40 Свободные колеб мех сис-мы с одной степенью свободы
- Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии .
Уравнение Лагранжа II рода:
(1).
Так
как равновесие устойчиво, а возмущения
малы, для Т и П воспользуемся выражениями:
,
.
Находим:
(2).
Подставляя
(2) в уравнение (1), получим:
,
где:
= const,
круговая или циклическая частота,
которая имеет размерность угловой
скорости (
).
-
ОЛДУ II
порядка с постоянными коэффициентами
(3).
Характеристическое
уравнение:
Постоянные
и
определяем из начальных условий:
.
Частным
решением уравнения (3), которое соотв.
начальным условиям будет:
.
Приведем
решение к амплитудной форме:
- закон движения системы.
- Величина периода, как и круговая частота, не зависят от начальных условий, а определяются только свойствами колеблющейся системы, то есть коэффициентом инерции и коэффициентом жесткости. Независимость периода и частоты колебаний от начальных условий называется изохронностью колебаний.
41 Линейное сопротивление и диссипативная функция
Диссипативная
функция Релея:
(1)
Радиус-вектор
каждой точки системы зависит только
от обобщенной координаты q(t):
.
,
следовательно,
.
B(q) разложим в степенной ряд в окрестности положения равновесия ( ):
,
а затем учтем в этом разложении только
первый член, так как диссипативная
функция Релея уже содержит в себе
величину второго порядка малости
.
Обозначим этот член через «b»,
который назовем обобщенным коэффициентом
сопротивления. Размерность коэффициента
сопротивления зависит от размерности
обобщенной координаты.
Окончательно
приближенное значение диссипативной
функции Релея:
.
42 Свободное движение мех. Сис-мы с учетом сил сопротивления
Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии .
Уравнением
Лагранжа II
рода:
(1)
Так
как равновесие устойчиво, а возмущения
малы, для Т, П и Ф воспользуемся
выражениями:
,
,
.
Находим:
(2).
Поставляя
(2) в (1), получим:
,
где:
= const,
круговая или циклическая частота
собственных колебаний системы без
учета сил сопротивления,
= const,
коэффициент затухания. Размерности у
«n»
и «k»
одинаковые (
).
- ОЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами.
Его
характеристическое уравнение:
43 Вынужденные колеб мех сис-мы без учета сил сопротивления
Q(t) - обобщенная сила характеризующая внешнее воздействие на колебательную систему.
,
где: H
- амплитуда, p
- циклическая (круговая) частота,
- начальная фаза обобщенной силы.
Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии .
Уравнение
Лагранжа II
рода:
(1).
Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, для Т и П воспользуемся выражениями: , . Находим: (2).
Поставляя
(2) в (1), получим:
,
где:
= const,
круговая или циклическая частота
собственных колебаний системы,
= const.
- НЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами (1).
Решение
q(t)
это сумма общего решения
однородного уравнения и частного
решения
неоднородного уравнения, то есть:
.
Однородное
уравнение для определения
это уравнениее собственных колебаний,
его решение:
.
Частное
решение
неоднородного уравнения называют
вынужденными колебаниями системы. Оно
зависит от соотношения круговых частот
«k»
и «p»
свободных колебаний и возмущающей
силы. Здесь возможны два случая:
отсутствие резонанса (
)
и резонанс (
).
kp
-
частное решение (1)
Далее,
учитывая общее решение уравнения и
частное, запишем общее решение для (1):
,
или в амплитудной форме:
.
Постоянные
и
определяются из начальных условий:
.