6. Понятие веса. Средняя квадратическая ошибка единицы веса.

Весом Р называют величину, обратно пропорциональную квадрату СКО, т.е. дисперсии. Веса – величины относительные. С помощью веса учитывают неодинаковую точность при совместной обработке неравноточных измерений. Чем точнее результат, тем меньше соответствует ему СКО и тем больше его вес.

μ – СКО единицы веса, она равна численному значению СКО результата, вес которого численно равен 1 и размерность может быть любой;

m_i – СКО i – ого измерения. Эта ошибка д.б. определена надёжно (получена из результатов измерений, число которых n > 8), а так же свободна от систематического влияния.

Пусть имеется ряд измерений x₁, x₂, x₃, ... , x_n. Это результаты измерений одной и той же величины. Они имеют разные ошибки m₁, m₂, m₃, ... , m_n. Предположим что Р_з = 1, тогда

Таким образом, получаем веса P₁, P₂, P₃, ... , P_n. μ' = m₃

Наиболее надежным значением измеряемой величины является среднее весовое значение или общая арифметическая середина:

Ошибка единицы веса выбирается произвольно, но при этом веса должны быть близки к 1. Это удобно для дальнейших вычислений.

Ошибка единицы веса:

n – число измерений, которые используются в обработке.

V_i – отклонение x_i от средне весового:

После обработки μ' ≈ μ.

Отклонения V обладают свойствами:

1. [PV] = 0

2. [PV²] = min

7. Задачи уравнивания.

В геодезическом построении измеряют не только k необходимых элементов, но и r дополнительных или избыточных элементов, связанных с необходимыми теми или иным математическими соотношениями.

Измерение избыточных элементов в геодезических построениях выполняются:

1) для контроля измерения всех элементов;

2) для повышения точности и отыскания вероятнейших значений этих элементов;

3) для оценки точности результатов измерений.

Пусть измерено n величин, истинные значения которых X1,…,Xn. Результаты измерений x1,..,xn этих величин получены с весами p1,..,pn. Измеренные величины связаны м\у собой различными геометрическими условиями, которые можно записать в следующем виде: φ_j=(X₁, X₂, ..., X_n) = 0. Они называются условными уравнениями или уравнениями связи. Такие уравнения возникают в треугольнике или замкнутом теодолитном ходе при измерении всех углов, в замкнутом нивелирном ходе при измерении превышений по всем сторонам его и т.д. При подстановке в условные уравнения измеренных значений элементов получают невязки, т.е.

φ_j = (x₁, x₂, ..., x_n) = w_j.

Измерения считаются выполненными правильно, если невязки по абсолютной величине не превышают некоторого допустимого значения.

Уравнивание геодезических построений производится только тогда, когда в таких построениях измеряют избыточные элементы.

При уравнивании существуют три основные задачи, которые решаются совместно:

1. Неоднозначность нахождения значений величин x_i.

2. Нахождения наиболее вероятных поправок в результат измерения. Т.е. при уравнивании необходимо найти такие поправки V_i к измеренным значениям x_i, которые позволили бы ликвидировать невязки w_j в уравнениях.

3. Оценка точности выполненных измерений и оценка точности функции результатов измерений.

При уравнивании составляются условные уравнения, число которых равно числу избыточных измерений (r). При уравнивании сравнивают полученные невязки с допустимыми.

При уравнивании используется следующее условие МНК: Σ(PV²) = min

Существует два основных способа уравнивания:

1) коррелатный (способ условий) - из решения нормальных уравнений сначала получают вспомогательные множители – коррелаты, а затем искомые величины n и их функции.

2) параметрический (способ необходимых неизвестных) – из решения нормальных уравнений получают непосредственно уравненные значения искомых величин - параметров.