16. Составление системы нормальных уравнений в параметрическом способе.

Переопределенную систему уравнений поправок = (1) решают под условием МНК: [pυ²] = min.

Для отыскания минимума функции Ф необходимо найти ее частные производные по неизвестным и приравнять к нулю. В результате получаем систему линейных уравнений:

[paυ] = 0

[paυ] = 0 (2)

[paυ] = 0

После подстановки в формулы (2) выражений (1) получим линейную систему:

[paa]δx₁ + [pab] δx₂ +… + [pag] δx_k + [pal] = 0

[pab] δx₁ + [pbb] δx₂ +… + [pbg] δx_k + [pbl] = 0 (3)

……………………………………………….....

[pag] δx₁ + [pbg] δx₂ +… + [pgg] δx_k + [pgl] = 0

Здесь коэф-ты [paa]= pa₁a₁₊ pa₂a_2+…+ pa_na_n, и т.д.

Эти уравнения называют нормальными уравнениями; они представляют собой определенную систему k линейных уравнений с k неизвестными.

Линейная система нормальных уравнений имеет особенности:

1) по диагонали, расположенной слева вниз направо, стоят коэффициенты, которые всегда положительны: их называют квадратичными, а диагональ – квадратичной.

2) остальные, неквадратичные, коэффициенты расположенные симметрично относительно квадратичной диагонали равны между собой.

17. Решение системы нормальных уравнений в параметрическом способе.

[paa]δx₁ + [pab] δx₂ +… + [pag] δx_k + [pal] = 0

[pab] δx₁ + [pbb] δx₂ +… + [pbg] δx_k + [pbl] = 0 (3)

………………………………………………..... (1)

[pag] δx₁ + [pbg] δx₂ +… + [pgg] δx_k + [pgl] = 0

Эти уравнения называют нормальными уравнениями; они представляют собой определенную систему k линейных уравнений с k неизвестными.

Линейная система нормальных уравнений имеет особенности:

1) по диагонали, расположенной слева вниз направо, стоят коэффициенты, которые всегда положительны: их называют квадратичными, а диагональ – квадратичной.

2) остальные, неквадратичные, коэффициенты располагаются симметрично относительно квадратичной диагонали.

Эти свойства системы используют при ее решении. Гаусс разработал способ решения нормальных уравнений, который сводится к последовательному исключению из нее всех неизвестных. При этом исходная система заменяется эквивалентной системой уравнений, и имеет вид:

[paa]δx₁+[pab]δx₂+[pac]δx₃+......+[pag]δx_k+[pal]=0

[pbb.1]δx₂+[pbc.1]δx₃ +......+[pbg.1]δx_k+[pbl.1]=0 (2)

[pcc.2]δx₃ +......+[pcg.2]δx_k+[pcl.2]=0

...................................................................................................

Ее получение называют прямым ходом решения. Неизвестные, начиная с последнего, вычисляют из так называемых элиминационных уравнений, получаемых из системы 1 делением на квадратичные коэффициенты.

, (3)

,

…………………………………………………………………………………..

Этот процесс называют обратным ходом решения.

Коэффициенты при неизвестных в эквивалентной системе называют алгоритмами Гаусса.

Правило раскрытия алгоритма Гаусса:

Алгоритм с цифрой j будем называть преобразованным, а без цифры – не преобразованным. Тогда любой преобразованный алгоритм Гаусса равен этому же не преобразованному алгоритму минус число дробей, совпадающего с цифрой j раскрываемого алгоритма. Знаменатели этих дробей равны первым коэффициентам (j-1) эквивалентных уравнений, а их числители - произведению двух алгоритмов с той же цифрой, что и в алгоритме знаменателя, причем первый сомножитель условно получается как произведение первой буквы знаменателя на первую букву раскрываемого алгоритма, а второй - как произведение второй буквы знаменателя на его вторую букву. Например: .

Способ Гаусса удобен тем, что все вычисления располагаются в компактной схеме, требующей выполнения однотипных вычислительных действий и позволяющей контролировать промежуточные результаты.

Контроль составления и решения нормальных уравнений производится методом сумм. [a]+[b]+[c]+.....+[g]+[l]=[s]

Коэффициенты нормальных уравнений и их свободные члены контролируют так:

[aa]+[ab]+.....+[ag]+[al]=[as]

………………………………..

[ag]+[bg]+.....+[gg]+[gl]=[gs]

[al]+[bl]+.....+[gl]+[ll]=[ls]

[as]+[bs]+.....+[gs]+[ls]=[ss]

Заключительным контролем прямого хода решения в схеме Гаусса является выполнение равенств [ll.k]=[ls.k]=[ss.k]. Затем переходят к вычислению неизвестных δx_j. Получив согласно (3) все неизвестные δx_j, вычисляют поправки v_i и контролируют на основе выражений [av]=0 [bv]=0 [gv]=0. Проверяют также выполнение контрольных равенств [v²]=[ll.k]=[ls.k].