12. Решение системы нормальных уравнений в коррелатном способе.

Одним из эффективных и широко распространенных способов решения нормальных уравнений является способ Гаусса, который состоит в последовательном исключении из уравнения всех неизвестных. При этом исходная система заменяется эквивалентной системой уравнений, и имеет вид

[qa₁a₁]k₁ + [qa₁a₂]k₂ + [qa₁a₃]k₃ + … + w₁ = 0

[qa₂a₂.1]k₂ + [qa₂a₃.1]k₃ + … + [qw₂.1] = 0 (1)

[qa₃a₃.2]k₃ + … + [w₃.2] = 0

…………………………………………………

[qa_ra_r.(r-1)] k_r + [qa_rl.(r-1)] = 0

Ее получение называют прямым ходом решения. Неизвестные, начиная с последнего, вычисляют из так называемых элиминационных уравнений, получаемых из системы (1) делением на квадратичные коэффициенты.

k_r = - [w_r.(r-1)]/[qa_ra_r.(r-1)]

…………………………………………………………..

k₂ = - [qa₂a₃.1]k₃/[qa₂a₂.1] - … - [qw₂.1]/[qa₂a₂.1]

k₁ = - [qa₁a₂]k₂/[a₁a₁] - [a₁a₃]k₃/[a₁a₁] - … - w₁/[a₁a₁]

Этот процесс называют обратным ходом решения.

Коэффициенты при неизвестных в эквивалентной системе называют алгоритмами Гаусса.

Правило раскрытия алгоритма Гаусса:

Алгоритм с цифрой j будем называть преобразованным, а без цифры – не преобразованным. Тогда любой преобразованный алгоритм Гаусса равен этому же не преобразованному алгоритму минус число дробей, совпадающего с цифрой j раскрываемого алгоритма. Знаменатели этих дробей равны первым коэффициентам (j-1) эквивалентных уравнений, а их числители - произведению двух алгоритмов с той же цифрой, что и в алгоритме знаменателя, причем первый сомножитель условно получается как произведение первой буквы знаменателя на первую букву раскрываемого алгоритма, а второй - как произведение второй буквы знаменателя на его вторую букву. Например: .

Способ Гаусса удобен тем, что все вычисления располагаются в компактной схеме, и позволяющей контролировать промежуточные результаты.

Контроль составления и решения нормальных уравнений производится методом сумм:

[a_1i] + [a_2i] + [a_3i] + ..... + [a_ni] + [w_i] = [s_i]

Еще одним способом решения системы нормальных уравнений в коррелатном способе уравнивания сети является матричный способ.

1. Система условных уравнений поправок:

a₁₁v₁ + a₁₂v₂ + a₁₃v₃ +... + a_1nv_n + w₁ = 0 [a₁υ] + w₁ = 0

a₂₁v₁ + a₂₂v₂ + a₂₃v₃ +... + a_2nv_n + w₂ = 0 [a₂υ] + w₂ = 0

a₃₁v₁ + a₃₂v₂ + a₃₃v₃ +... + a_3nv_n + w₃ = 0 [a₃υ] + w₂ = 0

……………………………………… (1) или в сокращённом виде ………………

a_r1v₁ + a_r2v₂ + a_r3v₃ +... + a_rnv_n + w_r = 0 [a_rυ] + w_r = 0

a_ij – коэффициент при поправках к измерениям

i - номер уравнения

j – номер измерения

Вводим матрицы:

- коэффициентов условных уравнений В

- поправок в измеренные величины V

- невязок W

C учётом этих мартиц система условных уравнений имеет вид: B*V + W = 0

2. Система нормальных уравнений:

[qa₁a₁]k₁ + [qa₁a₂]k₂ + … + [qa₁a_r]k_r + w₁ = 0

[qa₁a₂]k₁ + [qa₂a₂]k₂ + … + [qa₂a_r]k_r + w₂ = 0

[qa₁a_r]k₁ + [qa₂a_r]k₂ + … + [qa_ra_r]k_r + w_r = 0

Вводим матрицы:

- транспонированную матрицу B^T

- матрицу обратных весов Q

N = B*Q*B^T

Введём обозначение вектора коррелат К и тогда система нормальных уравнений запишется в виде:

N*K + W = 0

3. Решение системы нормальных уравнений в матричном виде:

K = N^-1*W

N*N^-1 = N^-1*N = E

4. Матрица поправок имеет следующий вид: V = Q*B^T*K

5. Оценка точности уравненных элементов

1/Р_F = f*Q*f ^T – f*Q*B^T*N^-1 – B*Q*f ^T