18. Вычисление поправок в параметрическом способе и заключительный контроль уравнивания.

Основным контролем составления и решения нормальных урав­нений является метод сумм.

При составлении таблицы коэффициентов уравнений поправок по каждой строке находят сумму коэффициентов и свободного члена a_i+b_i+c_i+…+g_i+l_i=s_i (i=1,2,3,…,n) (1).

Далее находят суммы по столбцам и проверяют правильность вычислений [a] + [b] + [с] + …+ [g] +[l] = [s]. (2)

Коэффициенты системы нормальных уравнений получают путем пере­множения элементов одного столбца на другой и последующего их суммирования.

Контролем правильности вычисления коэффициентов нормаль­ных уравнений является выполнение следующих ра­венств:

[aa]+[ab]+.....+[ag]+[al]=[as]

………………………………..

[ag]+[bg]+.....+[gg]+[gl]=[gs] (3)

[al]+[bl]+.....+[gl]+[ll]=[ls]

[as]+[bs]+.....+[gs]+[ls]=[ss]

Заключительным контролем прямого хода решения в схеме Гаусса является выполнение равенств [ll.k]=[ls.k]=[ss.k]. Затем переходят к вычислению неизвестных δx_j. Получив согласно

,

,

…………………………………………………………………………………..

все неизвестные δx_j, вычисляют поправки v_i = и контролируют на основе выражений [av]=0 [bv]=0 [gv]=0. Проверяют также выполнение контрольных равенств [v²]=[ll.k]=[ls.k].

Контроль правильности вычисления неизвестных δxj осуще­ствляется путем подстановки численных значении неизвестных в эквивалентные уравнения:

[aa]δx₁+[ab]δx₂+[ac]δx₃+......+[ag]δx_k+[al]=0

[bb.1]δx₂+[bc.1]δx₃ +......+[bg.1]δx_k+[bl.1]=0 (4)

[cc.2]δx₃ +......+[cg.2]δx_k+[cl.2]=0

Окончательным контролем уравнительных вычислений явля­ется соблюдение равенств

у́_i+v_i=f_i(х₁, х₂,…, х_k) (5), которые следует проводить при нелинейных функциях (контролируется правильность разложения в ряд).

19. Оценка точности в параметрическом способе.

В МНК доказывается, что обратные веса уравненных неизвестных

Где Q_jj - весовые коэффициенты. Они являются диагональными элементами матрицы:

, получаемой обращением матрицы R, т.е. Q = R^-1, где R – матрица коэффициентов системы нормальных уравнений .

Т.к. RQ = E, то обозначив j-ый столбец матрицы Q через Q_j, а матрицы Е – через E_j, получим k систем нормальных уравнений вида: R*Q_j=E_j.

Для вычисления элементов столбцов Q_j в схему Гаусса необходимо дополнительно ввести столбцы E_j, равные:

, ,……, .

И рассматривая их как новые столбцы свободных членов, по каждому из них получить k столбцов Q_j. Если каждый из столбцов условно обозначить как столбец свободных членов:

, то элементы столбцов Q_j получим по тем же формулам, что и неизвестные τ_j.

Контролем вычислений являются равенства Q_ij = Q_ji, т.к. матрица Q, как и R, симметричная.

Получив в результате уравнивания окончательные значения неизвестных, необходимо выполнить оценку их точности, под которой понимают вычисление средних квадратических погрешно­стей измерений и функций измеренных величин после уравнивания.

Известно, что в общем случае среднюю квадратическую погреш­ность любой величины m_i получают по формуле

где μ — средняя квадратическая погрешность единицы веса;

Следовательно, для решения задачи оценки точности уравнен­ных неизвестных нужно знать среднюю квадратическую погреш­ность единицы веса и вес каждого неизвестного.

Обратные веса параметров располагаются по главной диагонали обратной матрицы коэффициентов системы нормальных уравнений.

В параметрическом способе оценку точности параметров выполняют используя обращённую матрицу коэффициентов системы нормальных уравнений. Величину СКО единицы веса μ определяют по формуле

где n – число всех измерений;

k – число необходимых измерений;

(п – k) — число избыточно измеренных величин.

p_i — вес оцениваемой величины.