8. Подсчет числа условных уравнений в геодезических сетях.

Пусть n - число всех выполненных измерений;

k - число необходимых измерений в сети – минимальное число измерений, которое необходимо произвести для определения искомых величин;

r - число избыточных измерений.

Согласно МНК число независимых условных уравнений равно числу избыточных измерений r: r = n - k.

При составлении условных уравнений условия подразделяются на:

- условие фигур;

- условие горизонта;

- полюсное условие;

- координатные условия;

- дирекционных углов или азимутальные условия;

- базисное условие (условие сторон)

При уравнивании геодезических сетей по направлениям число и виды независимых условных уравнений находятся по формулам:

• всего S_н = D* - (2k + t)

• фигур f = D – t – p +1

• полюсных c = p – 2n + 3

• базисных (сторон) r_б = k_б - 1

• дирекционных углов (сумм углов) r_д = k_д - 1

• абсцисс и ординат r_x,y = 2(k_x,y - 1).

D* - общее число измеренных направлений D, дополнительно измеренных сторон k_s и азимутов k_α, вместе взятых;

n – число всех пунктов в сети;

k – число определяемых пунктов;

t – число пунктов, на которых исполнены угловые измерения;

p – число всех сторон в сети (исходных и определяемых);

k_б – общее число исходных и дополнительно измеренных сторон;

k_д – общее число исходных и дополнительно измеренных азимутов (дирекционных углов);

k_x,y – число раздельных групп исходных пунктов, не связанных между собой жёсткими сторонами.

К условиям свободной сети относятся:

- условия горизонта;

- условия фигур;

- полюсные условия.

К условиям жесткой (несвободной) сети относятся:

- условия дирекционных углов, возникающие при наличии двух и более жестких дирекционных углов;

- условия базисных сторон, возникающие при двух и более жестких базисных сторонах; - координатные условия.

Общее число условий жесткости = числу жестких исходных величин без четырех.

Оценку точности можно делать только по невязкам свободной сети, т.к. в невязках условий жесткости помимо ошибок измерений есть ошибки исходных данных, поэтому они дают неверное представление о точности измерений.

В сетях и ходах, проложенных м/у 2 исходными сторонами, кроме условий свободной сети возникают 4 условия жесткости, которые называются полигональными: 2 координатных, базисное и условие дирекционных углов.

При выборе условий для уравнивания нужно отдавать предпочтение условиям более простого вида, включающим меньше измеренных величин.

Включать в уравнивание можно только независимые условные уравнения поправок, ни одно из которых не является линейной комбинацией других.

9. Составление условных уравнений в нивелирных сетях.

При составлении условных уравнений в нивелирных сетях уравнения называются полигонными. Число независимых условных уравнений = числу избыточных измерений: r = l - k, где l - число ходов k - число узловых точек.

В общем виде условное уравнение имеет вид:

ΣV_i + w _i= 0,

w = Σh_i + H_нач – H_кон. Если полигон замкнутый, то H_нач = H_кон => w = Σh_i.

Т.е. составляются условные уравнения, в которых по ходу идет суммирование со своим знаком поправок и превышений.

Составление условных уравнений начинается с составления математического условия.

h_i – измеренное превышение

V_i – поправка в измеренное превышение

П ример:

1 ход: М1 – Rp1 – Rp5 – M2

2 ход: М2 – Rp5 – Rp6 – M3

3 ход: М3 – Rp6 – Rp4 – M1

H_M1, H_M2 – отметки начальной и конечной точек

Введем обозначение (h₁+h₂+h₃) - (H_M2 - H_M1) = ω₁ – невязка по первому ходу

1) V₁ + V₂ + V₃ + ω₁ = 0 – первое условное уравнение

ω₂ = (- h₃ + h₄ + h₅) - (H_M3 – H_M2)

2) – V₃ + V₄ + V₅ + ω₂ = 0 – 2-ое условное уравнение

ω₃ = (- h₅ + h₆ – h₁) - (H_M1 – H_M3)

3) – V₅ + V₆ – V₁ + ω₃ = 0 – 3-е условное уравнение.

Для нивелирной сети используют следующее правило: если направление хода совпадает с направлением измеренного превышения, то знак соответствующей поправки «+», если не совпадает – то «-».

При уравнивании геодезических сетей требуется составить систему условных уравнений из независимых уравнений. Это значит что ни одно из уравнений системы не может быть получено как комбинация других уравнений, входящих в систему:

Например:

h₂ + h₄ + h₆ = ω₄

4) V₂ + V₄ + V₆ + ω₄ = 0.