Задание 4

Предприятие производит два вида продукции А и В. На изготовление единицы продукции А используется сырье S1, S2, S3 в объеме , , кг соответственно. На изготовление единицы продукции В используется сырье S1, S2, S3 в объеме , , кг соответственно. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляет для S1 – P₁ кг, для S2 – P₂ кг, S3 – P₃ кг.

От реализации единицы готовой продукции А прибыль составляет грн., а вида В - грн. Решить задачу оптимального производства продукции А и В, при котором прибыль от реализации всей производственной продукции будет максимальной. Решение задачи должно содержать:

1. математическую модель задачи;

2. графическое решение задачи;

3. решение задачи симплексным методом;

4. экономический анализ результатов решения.

=9, =7, =5, =6, =10, =11, P₁ =738, P₂ =910, P₃=900, =3, =4

Решение.

а) Составим математическую модель задачи.

Пусть - количество готовой продукции А,

- количество готовой продукции В.

Составим систему ограничений

Дадим геометрическую интерпретацию математической формулировки задачи. Для этого перейдем от неравенств к равенствам и построим многоугольник решений

	0	82
	123	0

Из условия следует, что область D лежит ниже прямой

	0	130
	91	0

Из условия следует, что область D лежит ниже прямой .

	0	180
	81,81	0

условия следует, что область D лежит ниже прямой .

Строим линии и отмечаем область D.

Передвигая вдоль вектора N прямую видим, что максимальное значение достигается в точке В(40;63)

Z_max= 3·40+4·63=372

Решим задачу симплекс методом. В системе ограничений перейдем от неравенств к равенствам, добавив дополнительные переменные ,

Выбирая в качестве базисных векторы Х3, Х4, Х5 получим первоначальный опорный план Х=(0, 0, 738, 910, 900).

Решение осуществим в симплексной таблице

i	Базис	Сбаз	Х0	3	4	0	0	0
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
1 2 3	Х3 Х4 Х5	0 0 0	738 910 900	9 7 5	6 10 11	1 0 0	0 1 0	0 0 1
m+1			0	-3	-4	0	0	0
1 2 3	Х3 Х4 Х2	0 0 4	2718/11 1010/11 900/11	69/11 27/11 5/11	0 0 1	1 0 0	1 0 0	-6/11 -10/11 1/11
m+1			3600/11	-13/11	0	0	0	4/11

Найдем

Значит в базис введем вектор Х2, а Х4 выведем из базиса.

i	Базис	Сбаз	Х0	4	5	0	0	0
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
1 2 3	Х3 Х1 Х2	0 3 4	336/27 1010/27 1750/27	0 1 0	0 0 1	1 0 0	-69/27 11/27 -5/27	48/27 -10/27 7/27
m+1			10030/27	0	0	0	13/27	-2/27
1 2 3	Х5 Х1 Х2	0 3 4	7 40 63	0 0 1	0 1 0	9/16 10/48 7/48	-23/16 -1/8 3/16	1 0 0
m+1			372	0	0	29/48	3/8	0

Из последней симплексной таблицы видим, что все оценки неотрицательные, значит полученный план является оптимальным.

Х_опт=(40; 63)

Z_max=3·40+4·63=372