Задание 6

Предприятие, имеющее возможность вложения денежных средств в альтернативные варианты (капиталовложения в собственное производство или депозит в банке), может ожидать доход в зависимости от экономического положения в стране (стабильное, рост инфляции, изменение налогового кодекса, падение спроса). Величины доходов предприятия представлены в следующей матрице-таблице:

Альтернативы предприятия	Ситуации окружающей среды
	1	2	3	4
1	a11	a12	a13	a14
2	a21	a22	a23	a24

На основе игровой модели установить оптимальную стратегию поведения предприятия, дать экономическую интерпретацию (гарантированную прибыль) оптимальной стратегии предприятия.

Решение.

Решим матричную игру. Строки матрицы соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго игрока. Эти стратегии называются чистыми. Первый игрок имеет две стратегии. Второй игрок имеет четыре стратегии. Исследуем матрицу на наличие седловой точки.

Найдем нижнюю чистую цену игры. Для этого для каждого значения (i=1,2) определим минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий второго игрока.

Отыщем теперь такую стратегию i=i₀ , при которой минимальный выигрыш будет максимальным, т.е.

Второй игрок при оптимальном своем поведении должен стремиться по возможности за счет своих стратегий максимально уменьшить выигрыш первого игрока. Поэтому для второго игрока отыщем , т.е.

Это чистая верхняя цена игры.

Так как , то игра не имеет седловой точки и следовательно не имеет решения в чистых стратегиях.

Воспользуемся графическим методом для определения смешанных стратегий.

Построим прямые, соответствующие стратегиям второго игрока.

Обозначим через – вероятность применения первым игроком своей первой стратегии, через – смешанную стратегию второго игрока.

Составим неравенства (j=1,2,3,4) (i=1,2)

Для решения этих систем применим графический метод. Т.к. , то .

Введем обозначения для левой части неравенства

Где - это средний выигрыш первого игрока при условии, что он применяет свою смешанную стратегию, а второй свою j-тую чистую стратегию.

Каждому значению j=1,2,3,4 согласно выражению соответствует прямая линия в прямоугольной системе координат.

=(5-10) +10=-5 + 10

=(20-18) +18=2 +18

=(3-9) +9=-6 +9

=(15-6) +6=-9 + 6

Построим эти линии

Нижняя граница множества ограничений изображена на рисунке. Очевидно, максимальное значение достигается в точке М₀ , образуемой пересечением линий, соответствующих j=3, j=4, т.е. М₃ и М₄. Поэтому полагаем , .

Для определения значений , , и v решим следующие уравнения:

и , т.к. игра свелась к матрице А=

Решим эти системы

Таким образом, оптимальная стратегия первого игрока , достигается, если изменение налогового кодекса происходит с вероятностью и падение спроса осуществляется с вероятностью .Тогда гарантированная прибыль составит ден. ед.