5 Завдання для індивідуального розв’язання модуль 1. Основні поняття і теореми теорії ймовірностей

Варіант № 1

1. В автомашині сім місць. Скількома способами сім чоловік можуть сісти в цю машину, якщо зайняти місце водія можуть тільки троє з них?

2. У ліфт семиповерхового будинку на першому поверсі ввійшли чотири людини. Знайти ймовірність того, що всі пасажири вийдуть на одному поверсі.

3. Монету підкидають три рази. Знайти ймовірність того, що не менше двох разів випаде герб.

4. Є три партії комп’ютерів, що поступили від різних виробників і складають відповідно 50, 30, і 20 штук. Ймовірності безвідмовної роботи впродовж гарантійного строку дорівнюють для комп’ютерів цих партій – 0,87; 0,83 і 0,91.

а) знайти ймовірність безвідмовної роботи впродовж гарантійного строку комп’ютеру, що був випадковим чином обраний з усієї кількості комп’ютерів.

б) комп’ютер виявився бракованим. З якої партії його ймовірніше всього обрано?

5. Гральний кубик підкидають вісім разів. Знайти ймовірність того, що число очок, що кратне трьом з’явиться два рази; не менше п’яти разів; хоча б один раз.

Варіант № 2

1. У класі 15 одномісних парт. Скількома способами можна розсадити на них шість школярів?

2. З розрізної абетки викладається слово "математика". Потім всі букви цього слова перемішуються і знову викладаються у випадковому порядку. Яка ймовірність того, що знову вийде це ж слово?

3. Два стрілки, для яких ймовірності улучення складають 0,7 і 0,8, здійснюють по одному пострілу у мішень. Знайти ймовірність одного влучення у мішень.

4. У продаж надходять телевізори трьох заводів. Продукція першого заводу містить 2,3% телевізорів із прихованим дефектом, другого – 1,9% і третього – 1,4%. В магазин надійшло 30% телевізорів з першого заводу, 20% – із другого і 50% – із третього.

а) яка ймовірність придбати справний телевізор?

б) в магазині придбали телевізор з прихованим дефектом. На якому заводі він був ймовірніше всього виготовлений?

5. Серед продукції заводу 90 % якісної. Знайти ймовірність того, що серед шести виробів буде не більше 2 бракованих; хоча б один бракований; тільки чотири бракованих.

Варіант № 3

1. Скільки шестизначних чисел можна скласти із цифр 2, 4, 6, 8, якщо повторення цифр припустимі? Скільки з них таких, які починаються цифрою 6?

2. Десять різних книг навмання розставляють на полиці. Визначити ймовірність того, що при цьому три певні книги опиняться поруч.

3. Мисливець стріляє у ціль чотири рази. Знайти ймовірність того, що він уразить ціль не більш двох разів, якщо ймовірність одного влучення дорівнює 0,9.

4. У першій урні знаходиться вісім білих і шість чорних куль, у другий – три білі та дві чорні кулі. З першої урни навмання витягають відразу три кулі, і кулі того кольору, які виявляться в більшості, опускають у другу урну та перемішують. Після цього із другої урни навмання витягають одну кулю.

а) яка ймовірність того, що ця куля біла?

б) куля виявилася чорною. Знайти ймовірність того, що в другу урну переклали три чорні кулі.

5. У середньому 60% куплених акцій різних підприємств приносять дивіденди власнику акцій наприкінці року. Яка ймовірність того, що з акцій шести підприємств більшість принесуть дивіденди, не більш двох принесуть дивіденди, акції тільки трьох підприємств принесуть дивіденди?

Варіант № 4

1. У шаховому турнірі беруть участь шість шахістів третього розряду, вісім – другого і чотири – першого. Визначити кількість таких составів першого туру, щоб шахісти тільки однієї категорії зустрічалися між собою (колір фігур не враховується).

2. У партії, що полягає з 50 виробів, є вісім дефектних. З партії вибирається для контролю десять виробів. Знайти ймовірність того, що з них менш трьох виробів будуть дефектними.

3. Гральну кістку підкидають чотири рази. Знайти ймовірність того, що не менше трьох разів випаде шість очок.

4. Радіолампи виготовляють на двох заводах, причому перший з них поставляє замовнику 70%, а другий – 30% усієї продукції. З кожних 100 ламп першого заводу в середньому 98 стандартних, а з 100 ламп другого заводу лише 86 стандартних.

а) знайти ймовірність того, що отримана замовником лампа буде стандартною.

б) лампа виявилася нестандартною. Ймовірніше всього на якому заводі її було виготовлено?

5. У крамниці вісім чоловік. Ймовірність зробити покупку для кожної людини, яка зайшла в крамницю, дорівнює 0,38. Знайти ймовірність того, що з них троє зроблять покупку, не менше п’яти стануть покупцями, хоча б один з восьми зробить покупку.

Варіант № 5

1. Ліфт, у якому знаходиться десять пасажирів, може зупинятися на 11 поверхах. Пасажири виходять групами по два, три і п’ять осіб. Скількома способами це може відбутися?

2. У розіграші першості по баскетболу беруть участь 18 команд, з яких формуються дві групи по дев’ять команд у кожній. Серед учасників змагань є п’ять команд вищої ліги. Знайти ймовірність того, що всі команди вищої ліги потраплять в одну групу.

3. Абонент забув останню цифру телефонного номера. Яка ймовірність того, що йому доведеться дзвонити не більше ніж у три місця?

4. По телеграфному каналу зв’язку передаються два типи сигналів: "крапка" і "тире". Перший сигнал передається вдвічі частіше, ніж другий. Для сигналу "крапка" ймовірність приймання без ушкодження дорівнює 0,88; а для сигналу "тире" – 0,79.

а) знайти ймовірність того, що прийнято без ушкодження переданий сигнал.

б) сигнал при передачі було ушкоджено. Знайти ймовірність того, що був переданий сигнал "тире".

5. До магазину надходять вироби, з яких 76% першого сорту. Знайти ймовірність того, що серед 245 узятих навмання виробів 180 виявляться першого сорту. Визначити ймовірність найімовірнішого числа виробів першого сорту.

Варіант № 6

1. Скільки існує багатозначних чисел, число розрядів яких не більше п’яти?

2. В урні п’ять зелених і сім жовтих куль. У випадковому порядку, одну за одною виймають усі кулі, що знаходяться в ній. Знайти ймовірність того, що дві перші кулі будуть одного кольору.

3. У приборі чотири незалежних один від одного запобіжника з ймовірністю відмови кожного 0,1. Прибор зламається, якщо відмовляють не менше трьох запобіжників. Знайти ймовірність поломки прибору.

4. Партію транзисторів, серед яких 7,4% дефектних, відправлено на перевірку. Схема перевірки ймовірністю 0,93 виявляє дефект, якщо він є, і існує ненульова ймовірність 0,023 того, що справний транзистор буде визнано дефектним.

а) яка ймовірність того, що випадково обраний з партії транзистор буде визнаний дефектним?

б) у результаті перевірки транзистор було визнано справним. Знайти ймовірність того, що він з дефектом.

5. Ймовірність того, що проект житлового масиву буде прийнято до розгляду незалежною комісією, дорівнює 0,12. Яка ймовірність того, що з 234 буде прийнято не менше 128? Визначити ймовірність найімовірнішого числа проектів, які будуть прийняті.

Варіант № 7

1. Скільки існує непарних багатозначних чисел, число розрядів яких не менше трьох, але не більше семи?

2. Ліфт у десятиповерховому будинку відправляється із шістьма пасажирами. Знайти ймовірність того, що на кожному поверсі вийде не більш одного пасажира.

3. У першій урні дві білих і одна червона куля, у другій – три білі і дві червоні. З обох урн наугад витягнули по одній кулі. Яка ймовірність, що вони одного кольору?

4. Прилад, установлений на борті літака, може працювати у двох режимах: в умовах нормального крейсерського польоту і в умовах перевантаження при зльоті та посадці. Крейсерський режим польоту здійснюється 87% усього часу польоту. Ймовірність виходу приладу з ладу за час польоту в нормальному режимі дорівнює 0,12; в умовах перевантаження – 0,47.

а) обчислити надійність приладу за час польоту.

б) за час польоту прилад вийшов з ладу. В якому режимі ймовірніше всього йому довелося працювати?

5. На факультеті навчається 795 студентів. Знайти найімовірніше число студентів, які народилися першого січня та його ймовірність. Визначити ймовірність того, що першого січня народився хоча один студент, не більше трьох студентів.

Варіант № 8

1. Скільки різних акордів можна взяти на дев’яти обраних найвищих клавішах рояля, якщо кожен акорд повинен складатися не більш ніж з трьох звуків?

2. В урні шість білих і три червоні кулі. Яка ймовірність того, що серед п’яти навмання обраних куль не більше двох червоних?

3. Серед 60 деталей десять бракованих. Знайти ймовірність того, що серед п’яти навмання обраних деталей буде менше двох бракованих.

4. З п’ятнадцяти студентів, що прийшли складати екзамен з теорії ймовірностей і взяли білети, Іванов і Петров вивчили по 20 білетів з 30, Сидоров встиг вивчити тільки 12 білетів, інші студенти знають усі 30 білетів. По закінченні відведеного часу на підготовку екзаменатор навмання викликає відповідати одного зі студентів. Знання білету гарантує здачу екзамену з ймовірністю 0,98, а при незнанні білету можна скласти екзамен лише з ймовірністю 0,1.

а) яка ймовірність того, що викликаний студент не здав екзамен?

б) студент успішно здав екзамен. Знайти ймовірність, що це Сидоров.

5. ВТК перевіряє 68 деталей, ймовірність браку для однієї деталі складає 0,0087. Знайти з ймовірністю 0,9 межі, у яких буде знаходитись число стандартних деталей серед перевірених. Знайти найімовірніше число бракованих деталей та його ймовірність.

Варіант № 9

1. Скільки існує семизначних чисел, у яких на непарних місцях стоять парні цифри, якщо повторення цифр у числах неприпустимі?

2. З ящику з восьми зеленими і чотирма синіми кулями витягнуті шість куль. Знайти ймовірність того, що у вибірці число зелених куль більше числа синіх не менше, ніж на дві.

3. Стрілець стріляє по мішені, що віддаляється. Ймовірність влучення в ціль для першого пострілу складає 0,8, для кожного наступного – на 0,1 менше попереднього. Знайти ймовірність того, що при перших трьох пострілах буде два влучення.

4. Два цехи штампують однотипні деталі. Перший цех дає 0,5% браку, другий – 0,4%. Для контролю відібрано дванадцять деталей з першого цеху і шістнадцять із другого. Ці деталі змішані в одну партію, і з неї випадково обирають одну деталь.

а) яка ймовірність того, що вона не бракована?

б) деталь виявилася бракованою. Ймовірніше всього з продукції якого цеху її відібрано?

5. Підручник виданий тиражем 100000 екземплярів. Ймовірність того, що екземпляр зброшурований неправильно, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить п’ять бракованих книг; від чотирьох до шести бракованих книг; хоча б одну браковану книгу.

Варіант № 10

1. Скільки існує шестизначних чисел, у яких на парних місцях стоять непарні цифри, якщо повторення цифр у числах припустимі?

2. Кинуті дві гральні кості. Знайти ймовірність того, що сума очок, які випали на гранях – парна, причому на грані хоча б однієї кості випаде шістка.

3. Монету підкидають шість разів. Знайти ймовірність того, що «герб» з’явиться не більше двох разів.

4. У першій урні знаходиться сім коричневих і п’ять жовтих куль, у другий – вісім коричневих і шість жовтих куль, у третій – чотири коричневі і п’ять жовтих куль. З першої урни витягли навмання одну кулю і переклали в другу, потім із другої урни також навмання витягли одну кулю і переклали в третю. Після цього із третьої урни витягли одну кулю.

а) яка ймовірність того, що вона жовта?

б) знайти ймовірність того, що в третю урну переклали коричневу кулю.

5. Банк здійснює кредитування 347 підприємств. Ймовірність повернення кредиту підприємством у середньому дорівнює 0,92. Знайти ймовірність того, що кредит повернуть від 200 до 300 підприємств, хоча б одне підприємство не поверне кредит, кількість неповернень кредиту складе 178.

Варіант № 11

1. Скільки існує десятичних дробів, які складено із цифр 0, 1, 2, 4, 7, 9, якщо ціла і дробова частини містять по дві цифри і повторення цифр припустимі?

2. Кинуті три гральні кості. Знайти ймовірність того, що а) на кожній з граней появиться число 5; б) на всіх гранях появиться однакове число.

3. У лотереї 100 квитків, із них 20 виграшних. Яка ймовірність того, що серед семи квитків буде не більше одного виграшного?

4. Службовець, що працює в місті, може вертатися додому або тунелем, або мостом через ріку. Якщо службовець їде тунелем, то в 75% він вертається додому до 19⁰⁰, якщо ж він їде через міст, то тільки в 60% усіх випадків він вертається додому до 19⁰⁰ . Однак остання дорога йому більше подобається і він обирає її в 70 % усіх випадків.

а) яка ймовірність того, що службовець вернувся з роботи додому після 19⁰⁰?

б) службовець вернувся додому до 19⁰⁰. Знайти ймовірності того, що він обрав міст або тунель.

5. Телефонна станція обслуговує 520 абонентів. Ймовірність подзвонити на комутатор для будь-якого абонента протягом години складає 0,012. Яка ймовірність того, що протягом години подзвонять три абоненти; не більше чотирьох абонентів; хоча б один подзвонить?

Варіант № 12

1. Скількома способами можна оббити сім стільців тканиною, якщо є тканини десяти різних кольорів і всі стільці повинні бути різного кольору; одного кольору; хоча б чотири з них повинні бути одного кольору?

2. Ліфт в п’ятиповерховому будинку відправляється з трьома пасажирами, кожний з яких з однаковою ймовірністю виходить на любому поверсі, починаючи з третього. Знайти ймовірність того, що на кожному поверсі вийде не більше одного пасажира.

3. Мисливець стріляє по цілі сім разів. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0,7. Яка ймовірність того, що він уразить ціль не менше п’яти разів?

4. З урни, яка містить три білих і дві чорних кулі, переклали дві кулі в урну з чотирма білими і п’ятьма чорними кулями.

а) яка ймовірність тепер вийняти білу кулю із другої урни?

б) з другої урни було витягнуто чорну кулю. Знайти ймовірність того, що в неї переклали різнокольорові кулі.

5. Порцеляновий завод відправив на базу 10400 доброякісних виробів. Ймовірність того, що в дорозі виріб ушкодиться, дорівнює 0,0018. Знайти ймовірність того, що на базу прийдуть три ушкоджені вироби; хоча б один ушкоджений виріб. Знайти ймовірність найімовірнішого числа ушкоджених виробів.

Варіант № 13

1. Скількома способами можуть розташуватися в турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо відомо, що ніякі дві команди не набрали однакову кількість очок? Скількома способами можуть розподілитися призові місця?

2. Кинуті дві гральні кості. Знайти ймовірність того, що сума очок, які випали дорівнює восьми, якщо відомо, що їх різниця дорівнює чотирьом.

3. У одній делегації 10 англійців, 16 французів, в іншій – сім англійців, вісім громадян США і п’ять французів. З кожної делегації випадковим чином обирають одного представника. Яка ймовірність того вони зрозуміють один одного?

4. В урні лежить куля невідомого кольору – з рівною ймовірністю червоного або синього. В урну опускають одну червону кулю і після ретельного перемішування навмання витягують одну кулю.

а) яка ймовірність витягнути синю кулю з урни?

б) вона виявився червоною. Яка ймовірність того, що в урні залишилася червона куля?

5. Серед лотерейних квитків 14 % виграшних. Знайти ймовірність того, що серед десяти куплених квитків хоча б один виграшний; п’ять виграшних; не менше двох виграшних.

Варіант № 14

1. На зборах повинні виступити п’ятеро осіб: А, Б, В, Г, Д. Скількома способами можна розташувати їх у списку ораторів, якщо Б повинен виступити відразу після А?

2. В партії із 12 виробів є 4 браковані. Яка ймовірність того, що серед 5 випадково відібраних виробів виявиться 3 бракованих?

3. Для аварійної сигналізації встановлені три сигналізатори. Ймовірність того, що при аварії спрацює перший сигналізатор, дорівнює 0,7, другий – 0,8, третій – 0,9. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює тільки один сигналізатор.

4. У ящику знаходяться 15 тенісних м’ячів, із них три нових. Для першої гри береться один м’яч і потім повертається в ящик. Для другої гри навмання беруться два м’ячі.

а) знайти ймовірність того, що вони не нові.

б) яка ймовірність того, що перший м’яч був не новим, якщо обидва м’ячі, узяті для другої гри, виявилися новими?

5. Серед підручників 30 % із вирваними сторінками. На групу видано 6. Яка ймовірність, що серед них не більш одного зіпсованого; три з вирваними сторінками; від одного до п’яти зіпсованих?

Варіант № 15

1. Скількома способами можна розкласти 24 різних предмета по чотирьом різним ящикам так, щоб у кожному ящику опинилося по шість предметів?

2. В ящику є 50 однакових деталей із них 5 покрашені. Яка ймовірність того, що на удачу вийнята деталь виявиться покрашеною?

3. У турнірі беруть участь вісім команд, серед яких три команди першої ліги. Випадковим чином формують дві підгрупи по чотири команди у кожній. Знайти ймовірність того, що в одну групу потраплять хоча б дві команди першої ліги.

4. У команді, що приймає участь у спортивних змаганнях, три велосипедисти, чотири плавці та п’ять бігунів. Ймовірність виконати кваліфікаційний норматив для них складає 0,72; 0,83; 0,68 відповідно.

а) знайти ймовірність невиконання нормативу навмання обраним спортсменом.

б) спортсмен здав норматив. Яка ймовірність, що це бігун?

5. Ймовірність того, що кошеня виявиться з очами різного кольору, дорівнює 0,009. Яка ймовірність того, що серед 200 кошенят таких виявиться шість; хоча б одне? Знайти найімовірніше число кошенят з очами різного кольору та його ймовірність.

Варіант № 16

1. Скількома способами можна розкласти 28 різних листівок у сім однакових конвертів так, щоб у кожному конверті лежало по чотири листівки?

2. Учасники жеребкування тягнуть із ящика жетони з номерами від 1 до 100. Яка ймовірність того, що номер першого витягнутого жетона не містить цифри 5?

3. Ведеться спостереження за групою з трьох об’єктів. Ймовірність виявлення кожного за час спостереження складає – 0,82; 0,75; 0,64. Знайти ймовірність того, що за час спостереження буде виявлено не менше двох об’єктів.

4. Відомо, що 0,5% чоловіків і 0,35% усіх жінок дальтоніки. Вважаємо, що чоловіків вдвічі менше ніж жінок.

а) знайти ймовірність того, що випадково обрана людина не виявиться дальтоніком.

б) навмання обрана особа – дальтонік. Яка ймовірність того, що це чоловік?

5. У мережі автомагазинів міста знаходяться дванадцять автомобілів певної моделі. Ймовірність того, що за день буде продано автомобіль, складає 0,003. Яка ймовірність того, що за день буде продано хоча б один з автомобілів, три автомобілі, від двох до п’яти автомобілів?

Варіант № 17

1. Скількома способами можна розкласти 19 різних предметів по п’яти ящиках так, щоб в чотири ящики лягли по чотири предмета, а в ящик, що залишився, – три предмета?

2. На шести однакових картах надруковані букви: а, а, т, м, р, с, о. Після перемішування картки беруть по одній і розміщують в одну лінію. Яка ймовірність того, що утвориться слово “матрос”?

3. З урни, в якій чотири білих і шість чорних куль, виймають дві кулі. Знайти ймовірність того, що вони будуть одного кольору; різнокольорові.

4. Кожен з 35 екзаменаційних білетів містить по два питання. Студент добре вивчив 50 питань.

а) знайти ймовірність того, що студент не складе іспит, якщо для здачі екзамену достатньо відповісти на обидва питання свого білета, або на одне питання зі свого білета і на одне питання з додаткового білета.

б) яка ймовірність того, що він відразу відповів на білет, якщо відомо, що іспит складено?

5. Ймовірність того, що банкнотна фабрика надрукує грошовий знак з дефектом, дорівнює 0,0000015. Фабрика одержала замовлення на 7000000 банкнот. Яка ймовірність того, що при перевірці буде виявлено три браковані банкноти, не більше двох бракованих банкнот, хоча б одна бракована банкнота?

Варіант № 18

1. У мікроавтобусі дванадцять місць. Скількома способами в ньому можуть розміститися 12 чоловік, якщо місце водія можуть зайняти троє з них?

2. Бібліотечка складається із 10 різних книг, причому п’ять книг коштують 4 грн. кожна, дві книги – по 3 грн., три книги – по 1 грн. Яка ймовірність того, що взяті на удачу дві книги коштують 5 грн.?

3. У скарбничці 20 – 50-ти коп. монет, 16 – 25-коп. монет. Витягнуто три монети. Яка ймовірність того, що їхня вартість буде більше 1 грн.?

4. На радіолокатор із ймовірністю 0,92 надходить суміш корисного сигналу з перешкодою, а з ймовірністю 0,08 – тільки перешкода. Якщо надходить корисний сигнал із перешкодою, то пристрій реєструє наявність сигналу з ймовірністю 0,83, а якщо перешкода – 0,15.

а) яка ймовірність зареєструвати наявність якогось сигналу?

б) пристрій зареєстрував наявність сигналу. Знайти ймовірність, що це корисний сигнал.

5. Ймовірність аварії при випробуванні нового апарата дорівнює 0,062. Яка ймовірність, що при десяти випробуваннях аварія відбудеться хоча б один раз; не більше одного разу; більше трьох разів?

Варіант № 19

1. Скількома способами можна розставити на полиці сім книг, якщо дві певні книги повинні завжди стояти поруч?

2. Ліфт в дев’ятиповерховому будинку відправляється з трьома пасажирами. Знайти ймовірність того, що всі пасажири вийдуть на одному поверсі, якщо ліфт на другому поверсі не зупиняється.

3. З набору доміно навмання вибирають 2 кістки. Яка ймовірність того, що серед них виявиться хоча б одна з шістьма очками?

4. Пасажир може звернутися за квитком в одну з двох кас із ймовірністю 0,67 і 0,33 відповідно. Ймовірність того, що в момент його звернення в касу там не буде квитків, для першої каси складає 0,35; для другої – 0,47.

а) яка ймовірність, що пасажир придбав квиток?

б) чоловік не зміг придбати квиток. Знайти ймовірність того, що він звернувся в першу касу.

5. Ймовірність того, що виріб не пройде контроль, дорівнює 0,0032. Знайти ймовірність того, що з 5000 виробів хоча б два не пройдуть контроль; більше чотирьох і менше десяти не пройдуть контроль. Визначити ймовірність найімовірнішого числа.

Варіант № 20

1. П’ять груш і три абрикоси треба покласти у два пакети так, щоб у кожному пакеті був хоча б один абрикос і щоб кількість фруктів у них було однаковим. Скількома способами це можна зробити?

2. Пристрій складається із п’яти елементів, два з яких зношені. При включенні пристрою включаються випадковим чином два елементи. Яка ймовірність того, що включеними виявляться незношені елементи?

3. Радист викликає кореспондента. Ймовірність прийняття його першого виклику 0,2, другого – 0,3. Знайти ймовірність установлення зв’язку.

4. На три дочок (старшу, середню і молодшу) у родині покладено обов’язок мити посуд. Старша виконує 80%, середня – 15%, а молодша – тільки 5% усієї роботи. Ймовірності розбити при митті хоча б одну тарілку становлять для дівчинок відповідно 0,002; 0,031; 0,145.

а) знайти ймовірність розбити хоча б одну тарілку при митті посуду.

б) невідомо, хто напередодні мил посуд, але одна тарілка виявилася розбитою. Знайти ймовірності того, що посуд мила старша, середня або молодша дочка.

5. Ймовірність випуску свердла підвищеної крихкості (тобто браку) дорівнює 0,0017. Свердла упаковують у коробки по 50 штук. Визначити ймовірність того, що число бракованих виробів у коробці не перевищує двох; дорівнює одиниці; від одного до чотирьох.

Варіант № 21

1. У секції чоловічого одягу є різні костюми п’яти розмірів: сім – 48-го, вісім – 50-го, 19 – 52-го, дев’ять – 54-го, шість – 56-го. Скількома способами можна розвісити костюми, якщо костюми одного розміру повинні висіти разом?

2. В цеху працюють шість чоловіків і чотири жінки. По табельним номерам випадково відібрали сім робітників. Яка ймовірність того, що серед відібраних виявляться три жінки?

3. Ланка літаків заходить на ціль для бомбардування. Ймовірність влучення першого – 0,9, другого – 0,8, третього – 0,7. Знайти ймовірність двох влучень.

4. У поліклініку звертаються хворі із захворюваннями типу , і в співвідношенні 3:4:1. Відомо, що в перший тиждень видужують у середньому 72% хворих із захворюванням типу , 81% хворих із захворюванням типу і 64% хворих із захворюванням типу .

а) знайти ймовірність того, що впродовж першого тижня хворий не видужав.

б) знайти ймовірність того, що за перший тиждень вилікується хворий із захворюванням типу .

5. Ймовірність того, що клієнт туристичної фірми вибере для відпочинку Турцію, складає 0,72. У фірму звертаються приблизно 1250 клієнтів за місяць. Знайти ймовірність того, що Турцію оберуть для відпочинку 300 клієнтів; більше 770 клієнтів. Обчислити ймовірність найімовірнішого числа.

Варіант № 22

1. У шаховому турнірі беруть участь 9 людей. Скількома способами можна розподілити місця між ними? Скількома способами можна розподілити між ними призові місця?

2. В коробці 5 однакових виробів, причому 3 із них покрашені. На удачу дістали 2 вироби. Яка ймовірність того, що серед них виявиться один покрашений?

3. Для сигналізації про аварію встановлено два незалежно працюючих сигналізатора. Ймовірність того, що при аварії спрацює перший сигналізатор рівна 0,95, другий – 0,90. Яка ймовірність того, що при аварії спрацює тільки один сигналізатор?

4. Підприємство працює із трьома фірмами-посередниками: , і . На долю фірми припадає 58% загального обсягу поставок сировини, на долю фірми – 26% і решта на долю фірми . Із практики відомо, що в 4,5% випадків фірма зриває поставку. Для фірм і цей показник становить 7,1% і 9,3% відповідно.

а) яка ймовірність того, що поставка сировини не буде зірвана.

б) поставку сировини було зірвано. Ймовірніше всього, з якою фірмою співпрацювало підприємство?

5. Серед облігацій приблизно 2% виграшних. Знайти ймовірність того, що серед 10 проданих облігацій чотири будуть виграшними; виграшною буде хоча б одна облігація; не менше трьох облігацій будуть виграшними.

Варіант № 23

1. Порядок виступу восьми учасників конкурсу визначається жеребкуванням. Скільки різних результатів жеребкування при цьому можливо? Скільки результатів жеребкування можливі, якщо два певні учасники повинні виступати один за одним?

2. Серед 20 студентів групи, із яких 8 юнаків розігруються 7 квитків. Яка ймовірність того, що серед власників квитків виявиться 4 дівчини?

3. Ймовірність попадання в ціль при стрільбі залпом із двох гармат дорівнює 0,38. Знайти ймовірність ураження цілі при одному пострілі першої із гармат, якщо відомо, що для другої гармати ця ймовірність дорівнює 0,8.

4. Страхова компанія працює з 1000 клієнтів, 530 з яких застраховані від нещасного випадку, 340 – від втрати майна і решта – від автокатастрофи. За статистичними спостереженнями виплата по страхових полісах здійснюється при нещасному випадку для 3,6% клієнтів, при втраті майна – для 7,3% і при автокатастрофах – для 9,1% клієнтів.

а) знайти ймовірність того, що відбудеться виплата по страховому полісу.

б) за страховий період для власника страхового полісу не відбулася страхова подія. Найімовірніше, до якої групи належить клієнт?

5. У бавовні у середньому 12 % коротких волокон. Знайти ймовірність того, що у навмання узятому пучку з приблизно 70 волокон буде хоча б одне коротке волокно; не більше двох коротких волокон; від десяти до двадцяти коротких.

Варіант № 24

1. Тридцять людей розбиті на три групи по десять людей у кожній. Скільки може бути різних складів груп?

2. 10 студентів домовилися їхати певним поїздом, але не домовилися про вагон. Яка ймовірність того, що жодний з них не зустрінеться з іншим, якщо в поїзді 10 вагонів?

3. Із партії товарів товарознавець відбирає вироби вищого ґатунку. Ймовірність того, що на удачу взятий виріб виявиться вищого ґатунку, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що із трьох виробів, які перевірені тільки два вироби вищого ґатунку.

4. З вісімнадцяти стрільців п’ять влучають у мішень із ймовірністю 0,8; сім – з ймовірністю 0,7; чотири – з ймовірністю 0,6 і двоє – з ймовірністю 0,5.

а) знайти ймовірність промаху для навмання обраного з списку стрільця.

б) випадково обраний стрілець зробив постріл, але в мішень не потрапив. До якої групи найімовірніше належить стрілок?

5. На ділянці працює 6 верстатів. Всі вони однотипові. Ймовірність, що за зміну один верстат вийде зі строю – 0,1. Визначити ймовірність, що за зміну з ладу вийде не більш одного верстату.

Варіант № 25

1. Двадцять вісім костей доміно повинне розподілиться між чотирма гравцями. Скільки можливо зробити різних розподілів?

2. На змаганні 10 команд розділили на дві підгрупи. Яка ймовірність того, що дві найбільш сильні команди виявляться в різних підгрупах?

3. Три стрільці незалежно один від одного стріляють по одній мішені. Ймовірність влучення в мішень для першого стрільця 0,8, для другого – 0,4. Перші два стрільці роблять по одному пострілу. Третій стрілець робить два постріли, ймовірність влучення при яких 0,5. Знайти ймовірність того, в мішені буде одна пробоїна.

4. Для керування процесом виробництва в певній ситуації запропоновано п’ять варіантів. Якщо технолог вибере перший варіант, то ймовірність одержати прибуток складає 0,6; якщо другий – 0,3; третій – 0,2; четвертий – 0,1; п’ятий – 0,1.

а) знайти ймовірність не одержання прибутку.

б) яка ймовірність, що технолог вибрав перший варіант, якщо було одержано прибуток?

5. Два рівносильних суперника грають в шахи. Що ймовірніше, виграти одну партію з двох, дві партії з чотирьох чи 50 партій зі ста. Нічиї до уваги не приймаються.

Варіант № 26

1. Скількома способами можна розкласти 15 різних куль по трьом однаковим кошикам так, щоб у кожному виявилося по п’ять куль?

2. В урні є п’ять куль з номерами від 1 до 5. На удачу дістають три кульки без повернення назад. Знайти ймовірність того, що будуть витягнуті кульки з номерами 1, 4, 5 незалежно в якій послідовності вони появились.

3. По літаку проводиться три одиночних постріли. Ймовірність влучення при першому пострілі дорівнює 0,4, при другому – 0,5, при третьому – 0,8. Для виводу літака з ладу досить двох влучень. Знайти ймовірність того, що в результаті трьох пострілів літак буде виведений з ладу.

4. У торговельну фірму надійшли телевізори від трьох постачальників у відношенні 1:4:5. Практика показала, що телевізори, що надходять від першого, другого і третього постачальників, не потрібно ремонтувати протягом гарантійного строку відповідно в 98%, 88% і 92% усіх випадків.

а) знайти ймовірність того, що впродовж гарантійного строку проданий телевізор не потребує ремонту.

б) проданий телевізор не витримав гарантійного строку. Від якого постачальника найімовірніше надійшов цей телевізор?

5. Прилад складається із восьми однакових елементів, але може працювати при наявності в справному стані не менше шести з них. Кожен з елементів за час роботи виходить з ладу незалежно від інших з ймовірністю 0,2. Знайти ймовірність того, що прилад відмовить за час .

Варіант № 27

1. Скількома способами можна розділити шість різних цукерок між трьома дітьми так, щоб кожній дитині обов’язково дісталася хоча б одна цукерка?

2. Кинуті три гральні кості. Знайти ймовірність того, що

а) на кожній з граней появиться число 5;

б) на всіх гранях появиться однакове число.

3. Батарея із трьох гармат провела залп. Причому одна з гармат дала осічку. Ймовірність попадання в ціль першою, другою і третьою гарматами відповідно дорівнюють: . Для уражання цілі необхідно як мінімум два попадання. Знайти ймовірність того, що ціль буде уражена.

4. У будинку розміщуються офіси трьох фірм, у першій з яких працюють три чоловіка і шість жінок, у другий – вісім чоловіків і три жінки, а в третій – п’ять чоловіків і десять жінок. Ймовірність того, що службовець, який спізнився на роботу, працює в першій фірмі, дорівнює 0,31, у другий – 0,52 і в третій – 0,28.

а) знайти ймовірність спізнення на роботу для випадково обраного службовця.

б) знайти ймовірність того, що на роботу спізнилася жінка.

5. Прилад складається із чотирьох незалежно працюючих основних елементів. Прилад виходить з ладу, якщо відмовляє хоча б один елемент. Ймовірність відмови кожного елемента за час дорівнює 0,1. Знайти ймовірність безвідмовної роботи приладу за час , якщо поряд з основними елементами ввімкнено і один резервний елемент. Припускається, що резервний елемент працює в такому ж режимі, що й основні елементи і прилад виходить з ладу, якщо працює менше чотирьох елементів.

Варіант № 28

1. На зборах повинні виступити чотири оратори: Іванов, Крилов, Петров, Сидоров. Скількома способами їх можна розташувати в списку ораторів, якщо Іванов не повинен виступати до того, як виступить Петров?

2. В групі 12 студентів, серед яких 8 відмінників. По списку на удачу відібрані 9 студентів. Яка ймовірність того, що серед відібраних виявиться 5 відмінників?

3. Серед 22 студентів групи, з яких дев’ять дівчат, розігрується шість квитків. Яка ймовірність того, що серед власників квитків виявляться хоча б дві дівчини?

4. Усі вироби цеху перевіряються трьома контролерами. Ймовірність того, що виріб буде перевіряти перший контролер, дорівнює 0,32, другий – 0,45, третій – 0,23. Ймовірність того, що перший контролер пропустить бракований виріб, складає 0,11, другий – 0,14, третій – 0,07.

а) яка ймовірність признати виріб придатним?

б) пройдений перевірку виріб виявився бракованим. Знайти ймовірності того, що перевірку здійснював перший, другий, третій контролери.

5. Є п’ять станцій, з якими підтримується зв’язок. Внаслідок метеоумов зв’язок з кожною з них може бути втрачено з ймовірністю 0,2. Знайти ймовірність того, що в даний момент часу зв’язок втрачено з двома станціями; не більше ніж з трьома станціями; хоча б з однією станцією.

Варіант № 29

1. У готелі вільні п’ять одномісних і чотири трьохмісних номери. Потрібно розселити трьох жінок і родину із трьох людей. Скількома способами це можна зробити, якщо родину потрібно поселити в один номер, а жінок в одномісні?

2. Сім книг випадково розміщені на полиці. Яка ймовірність того, що три вибрані книги виявляться поруч?

3. З урни, у якій лежать п’ять білих і сім чорних куль, випадковим чином вибрали чотири кулі. Яка ймовірність того, що серед вийнятих куль буде більше двох білих?

4. Страхова компанія розділяє застрахованих по класах ризику: I клас – малий ризик, II клас – середній, III клас – великий ризик. Серед клієнтів компанії 45% – першого класу ризику, 33% – другого і решта – третього. Ймовірність необхідності виплачувати страхову винагороду для першого класу ризику дорівнює 0,0098, другого – 0,027, третього – 0,082.

а) знайти ймовірність невиплати страхової винагороди для випадково обраного клієнту.

б) клієнт одержав грошову винагороду. Яка ймовірність того, що застрахований відноситься до групи малого ризику?

5. Відомо, що на 1000 дорослого населення 200 мають вищу освіту. Знайти ймовірність того, що серед 200 випадково обраних респондентів 100 будуть мати вищу освіту; хоча б 30 будуть мати вищу освіту; від 40 до 120 будуть мати вищу освіту.

Варіант № 30

1. Повна колода карт (52 листа) ділиться навмання на дві рівні пачки по 26 листів. Скільки існує таких способів розділу колоди, щоб в кожній з пачок виявилося по два тузи?

2. У складальника 10 деталей. Із них 4 першого виду, 3 – другого, 3 – третього. Яка ймовірність того, що серед шести взятих на удачу деталей виявиться 2 першого виду, 2 – другого і 2 – третього?

3. Робітник обслуговує п’ять верстатів. Ймовірність того, що протягом години перший верстат не потребує уваги робітника, дорівнює 0,2; другий – 0,3; третій – 0,5; четвертий – 0,1; п’ятий – 0,4. Знайти ймовірність того, що протягом години тільки один верстат потребує уваги; жоден верстат не зажадає уваги робітника.

4. Число вантажних автомашин, що проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка, відноситься, до числа легкових машин як 5:3. Ймовірність того, що вантажна машина буде потребувати заправки дорівнює 0,21; для легкових машин ця ймовірність складає 0,43.

а) знайти ймовірність того, що машина, яка проїжджає по шосе, не потребує заправки двигуна.

б) до бензоколонки під’їхала на заправку автомашина. Яка ймовірність того, що вона вантажна?

5. Скільки виробів першого сорту з ймовірністю 0,0324 очікується в партії із 1000 випадково узятих виробів, якщо ймовірність того, що окремий виріб буду першого сорту, дорівнює 0,8?