1.3 Содержание отчета

Отчет о лабораторной работе должен содержать:

1. тему и цель работы;

2. структурную схему объекта управления и его параметры параметры;

3. построение исходной, желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ КУ;

4. графики переходных процессов до и после коррекции;

5. анализ результатов исследования и выводы.

2 Синтез пи-регулятора методом расширенных частотных характеристик

Цель – изучение синтеза регуляторов методом расширенных частотных характеристик.

2.1 Методические указания

В основе метода лежит понятие расширенных комплексных частотных характеристик W(m,j), получающихся из передаточных функций заменой P=(j-m), где m связана с  выражением

, (2.1)

здесь  - степень затухания переходного процесса, равная отношению разности двух соседних амплитуд одного знака к большей из них; m - степень колебательности системы, определяемая отношением вещественной части комплексного корня a + j, ближайшего к мнимой оси, к его мнимой части;

(2.2)

К- указывает во сколько раз уменьшается последующая амплитуда по сравнению с предыдущей (при К=10 m=0,366 и  =0,9).

Вещественная часть а корня, ближайшего к мнимой оси, характеризует запас устойчивости и называется степенью устойчивости системы. Передаточная функция ПИ-регулятора равна

. (2.3)

Расширенную АФХ ПИ-регулятора представим суммой вещественной и мнимой составляющих при р = -m + j в выражении (2.3)

(2.4)

где

; (6.5)

(6.6)

Аналогично представим расширенную АФХ объекта

(6.7)

Для определения параметров настройки необходимо построить границу области заданной степени колебательности m (степени затухания у), используя в качестве исходного соотношение

(2.8)

Из этого соотношения найдем

, (2.9)

или

(2.10)

Обратную РАФХ объекта представим как

(2.11)

Найдем и . Для этого умножим и разделим правую часть выражения (2.10) на сопряженный множитель. Тогда определим

(2.12)

(2.13)

Уравнение (2.10) может быть записано при этом в виде

(2.14)

или в виде системы уравнений

(2.15)

После подстановки значений вещественных и мнимых, составляющих РАФХ регулятора и объекта, получим

(2.16) .

Из этих уравнений параметры настройки регулятора находятся по формулам

, (2.17)

Пример расчета, выполненный в программе MathCAD.

2.2 Порядок проведения работы

2.2.1 Для своего варианта (табл. 1.1) определите нерасширенную АФХ объекта.

2.2.2 Определите расширенную АФХ объекта для показателя колебательности 0,4.

2.2.3 Определите настройки ПИ-регулятора.

2.2.4 Постройте переходный процесс в разомкнутой и замкнутой системах.

2.2.5 Повторить пункты 2.2.2-2.2.4 для показателя колебательности 0,7.

2.3 Содержание отчета

Отчет о лабораторной работе должен содержать:

1. тему и цель работы;

2. расчет коэффициентов ПИ-регулятора методом расширенных частотных характеристик;

3. графики нерасширенной и расширенной АФХ;

4. графики переходных процессов в разомкнутой и в замкнутой системе;

5. анализ результатов исследования по каждому пункту программы работы и общие выводы о работе.

3 синтез сау методом стандартных переходных характеристик

Цель – изучение синтеза регуляторов методом стандартных переходных характеристик.

3.1 Методические указания

Для получения необходимых значений коэффициентов передаточной функции разомкнутой системы можно воспользоваться стандартными переходными характеристиками. Для большей общности эти характеристики строятся в нормированном виде. В этом случае по оси времени откладывается относительное время τ = Ω₀t, где Ω₀ – среднегеометрический корень характеристического уравнения, определяющий быстродействие системы.

При построении стандартных переходных характеристик необходимо задаться определенным распределением корней характеристического уравнения. Например, Баттервортом предложено распределение, при котором соблюдается одинаковое угловое расстояние по полуокружности радиуса в левой полуплоскости р. С помощью соотношения Виета можно определить коэффициенты характеристического полинома

Соответствующие переходные характеристики показаны на рис. 3.1

Рисунок 3.1 – Переходные характеристики соответствующие распределению корней Баттерворта

Использование метода стандартных переходных характеристик для синтеза заключается в том, что для принятой структурной схемы выбирается приемлемый вид переходного процесса. Это позволяет установить необходимое значение среднегеометрического корня Ω₀. Далее оказываются известными все коэффициенты желаемой передаточной функции системы. Введением различных корректирующих средств необходимо добиться того, чтобы коэффициенты реальной передаточной функции были как можно ближе к коэффициентам желаемой передаточной функции.

Пример. Дана передаточная функция объекта управления в виде

Определим структуру системы автоматического управления (рис. 3.2).

Рисунок 3.2 – Структура автоматической системы управления

Определим передаточную функцию замкнутой системы

Знаменатель передаточной функции

Приравняем коэффициенты передаточной функции замкнутой системы коэффициентам стандартного полинома и составим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов обратных связей

При заданных исходных параметрах

определим коэффициенты обратных связей при

Рассчитаем переходный процесс в исходной разомкнутой и синтезированной замкнутой системах.

Графики рассчитанных переходных процессов приведены на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 – Переходные процессы в исходной разомкнутой и синтезированной замкнутой системах

3.2 Порядок проведения работы

3.2.1 Для своего варианта (табл. 1.1) постройте переходный процесс в исходном объекте.

3.2.2 По заданию преподавателя задайтесь среднегеометрическим корнем.

3.2.3 Задайтесь структурой замкнутой системы.

3.2.4 Определите передаточную функцию замкнутой системы.

3.2.5 Определите параметры регулятора.

3.2.6 Постройте переходный процесс в замкнутой системе.

3.3 Содержание отчета

Отчет о лабораторной работе должен содержать:

1. тему и цель работы;

2. структуру и передаточную функцию замкнутой системы;

3. параметры синтезированного регулятора;

4. графики переходных процессов в разомкнутой и в замкнутой системе;

5. анализ результатов исследования по каждому пункту программы работы и общие выводы о работе.

4 оптимизация параметров сау по критерию минимума интегральной квадратичной оценки

Цель – изучение метода параметрической оптимизации по минимуму интегральной квадратичной оценки.

4.1 Методические указания

Максимальное отклонение переходной характеристики системы управления обычно не удается связать с параметрами настройки регулятора достаточно простой зависимостью, которая позволила бы успешно решать задачу их оптимизации. Кроме того, обычно качество функционирования системы управления определяется не только максимальным отклонением управляемой величины, но также длительностью существования этого отклонения, т.е. важно, чтобы отклонение было не только небольшим, но и кратковременным.

Удобным обобщенным показателем оптимального качества функционирования системы, учитывающим одновременно оба этих требования, может служить интегральная оценка.

Интегральные оценки качества – интегралы по времени от некоторых функций переходного процесса свободной составляющей выходной величины или ошибки ε(t)=h_уст(t)-h(t). Широко используются оценки качества:

Линейная:

. (4.1)

Квадратичная:

. (4.2)

Обобщенная квадратичная:

. (4.2)

Недостатком интегральной оценки (4.1) является то, что она применима только к монотонным или апериодическим процессам.

При выборе параметров системы по минимуму оценки (4.2) часто получается нежелательную колебательность процесса, так как приближение процесса h(t) к идеальному скачку вызывает резкое увеличение начальной скорости, что в свою очередь, может вызвать большее перерегулирование, уменьшив при этом запас устойчивости.

В обобщенной квадратичной оценке (4.3) накладывается ограничение не только на значение отклонения ε(t), но и на скорость отклонения , что означает приближение кривой не к ступенчатой функции, а к экспоненте.

При выборе параметров САУ по минимуму І (4.3) важна постоянная времени , определяющая вес производной в обобщенной оценке. Значительное увеличение приводит к отсутствию перерегулирования, но увеличивает время регулирования. При малой колебательность незначительно уменьшается, Выбор осуществляется из условия

. (4.4)

Задача выбора параметра по минимуму интегральных оценок решается аналитически для САУ невысокого порядка. В противном случае расчеты значительно усложняются, и задачу следует решать численно.

Метод вычисления квадратичной интегральной оценки (4.2) следующий. По определению

,

где – передаточная функция замкнутой системы.

По теореме о предельных значениях

.

Следовательно

,

где – передаточная функция разомкнутой системы.

Поскольку – дробно-рациональная функция, то и можно записать в аналогичной форме

.

Интегралы от дробно-рациональных функций обычно приводятся в справочниках в виде таблицы 4.1.

Таблица 4.1 – Табличные интегралы от дробно-рациональных функций

Порядок	Значение интегральной квадратичной оценки

Пример. Дана передаточная функция объекта управления в виде

,

где

Определим структуру системы автоматического управления (рис. 4.1).

Рисунок 4.1 – Структура автоматической системы управления

Определим ошибку

,

где

Составим программу для вычисления интегральной оценки

Построим полученную поверхность

Рисунок 4.2 – Значение интегральной оценки

Или построим интегральную оценку в виде линий уровня

Рисунок 4.3 – Линии уровня интегральной оценки

По рисунку 4.3 определяем оптимальные настройки ПИ-регулятора

Строим переходный процесс в замкнутой системе

Рисунок 4.4 – График переходного процесса в замкнутой системе

4.2 Порядок проведения работы

4.2.1 Для своего варианта (табл. 1.1) определите передаточную функцию замкнутой системы с ПИ-регулятором в полиномиальном виде.

4.2.2 Определите передаточную функцию замкнутой системы по ошибке в полиномиальном виде.

4.2.3 Постройте поверхность зависимости интегральной оценки от переменных параметров настройки ПИ-регулятора.

4.2.4 Определите оптимальные настройки ПИ-регулятора.

4.2.5 Постройте переходный процесс в замкнутой системе.

4.3 Содержание отчета

Отчет о лабораторной работе должен содержать:

1. тему и цель работы;

2. структуру и передаточную функцию замкнутой системы;

3. параметры синтезированного регулятора;

4. графики переходных процессов в разомкнутой и в замкнутой системе;

5. анализ результатов исследования по каждому пункту программы работы и общие выводы о работе.

5 синтез дискретного пи-регулятора по эквивалентной непрерывной модели

Цель – изучение синтеза дискретных регуляторов по их эквивалентным непрерывным моделям.

5.1 Методические указания

Применение цифровых контроллеров для управления технологическими процессами вносит свою специфику в исследование и синтез систем управления, обусловленную тем, что вычислительные устройства таких контроллеров являются дискретными системами, оперирующими с дискретными сигналами, т. е. сигналами, принимающими определенные значения только в дискретные, обычно равноотстоящие моменты времени через интервал Т, который обычно называют интервалом или периодом квантования.

Структурная схема замкнутой цифровой системы управления представлена на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 – Структура цифровой системы управления

Непрерывный сигнал ошибки ε(t) в аналогово-цифровом преобразователе преобразуется в дискретную последовательность чисел ε(n), которая подается на вход вычислительного устройства. Здесь она преобразуется в соответствии с заложенным алгоритмом в синхронную последовательность чисел μ(n), которая затем в цифро-аналоговом преобразователе преобразуется в непрерывный сигнал.

В соответствии с [3] расчет параметров настройки цифровых регуляторов может осуществляться методами, как теории дискретных систем, так и теории непрерывных систем. Расчет методами теории непрерывных систем пригоден лишь при условии отсутствия пульсаций от квантования. Его отличие от расчета аналоговых регуляторов состоит в том, что в передаточной функции разомкнутой системы учитывается передаточная функция экстраполятора.

Основная идея метода синтеза регулятора на заданный показатель колебательности М заключается в следующем. Рассмотрим АФХ разомкнутой системы и системы с ПИ-регулятором (см. рис. 5.2)

1 – W_об(jω), 2 – W_рс(jω), 3 – окружность М

Рисунок 5.2 – Построение АФХ разомкнутой системы с ПИ-регулятором при заданном М

Комплексная передаточная функция объекта определяет кривую 1 АФХ объекта. При известной комплексной передаточной функции ПИ-регулятора подбираются параметры k_p и T_и таким образом, что полученная АФХ разомкнутой системы коснется окружности показателя колебательности М в точке В. Положение центра и радиус окружности показателя колебательности определяется по формулам

ОО’=М²(М²-1)^-1, О’А=М(М²-1)^-1,

Исходный вектор АФХ объекта ОС увеличивается за счет пропорционально части регулятора k_p до вектора ОВ. Интегральная часть регулятора ВА строится перпендикулярно отрезку ОВ. Таким образом, образуется АФХ разомкнутой системы с ПИ-регулятором. Предположив, что при оптимальной настройке регулятора центр кривизны АФХ разомкнутой системы, касающейся окружности с заданным показателем колебательности М, лежит на векторе АФХ объекта. При этом предположении отрезки О’А и ОВ можно считать лежащими на одной прямой, а треугольник ОО’В – прямоугольным.

Используя данную методику для непрерывного ПИ-регулятора, получены следующие выражения

(5.1)

где - амплитуда и фаза объекта.

Для расчета дискретного ПИ-регулятора выражение (5.1) необходимо модифицировать.

Передаточная функция эквивалентного непрерывного ПИ-регулятора имеет следующий вид

,

где Т – период квантования.

Для эквивалентного непрерывного ПИ-регулятора оптимальные значения рассчитываются по формулам

где ku=kp/Tu.

Пример расчета оптимальных настроек эквивалентного непрерывного ПИ-регулятора.

Рисунок 5.3 – АФХ объекта

Рисунок 5.4 – График вспомогательной функции

Рисунок 5.5 – График переходного процесса в замкнутой системе

Правильность настроек можно проверить путем перехода от непрерывного формы описания объекта и регулятора к z-форме.

На рис. 5.6 представлена z-модель непрерывного объекта с учетом экстраполятора нулевого порядка и цифрового ПИ-регулятора.

Рисунок 5.6 – Z-модель замкнутой системы

Рисунок 5.7 – График переходного процесса в замкнутой дискретной системе

5.2 Порядок проведения работы

5.2.1 Для своего варианта (табл. 1.1) выберите значение периода квантования, заданным преподавателем способом.

5.2.2 Определите настройки дискретного ПИ-регулятора по его эквивалентной аналоговой модели, при заданном частотном показателе колебательности М.

5.2.3 Постройте переходный процесс в замкнутой эквивалентной непрерывной системе.

5.2.4 Определите передаточную функцию дискретную объекта управления.

5.2.5 Постройте переходный процесс в замкнутой дискретной системе.

5.3 Содержание отчета

Отчет о лабораторной работе должен содержать:

1. тему и цель работы;

2. расчет периода квантования;

3. расчет коэффициентов ПИ-регулятора;

4. определение передаточной функции дискретного объекта;

5. графики переходных процессов в замкнутой системе;

6. анализ результатов исследования по каждому пункту программы работы и общие выводы о работе.

6 синтез систем с конечным временем переходного процесса

Цель – изучение синтеза дискретных систем, в которых реализуются переходные процессы конечной длительности.

6.1 Методические указания

В дискретных системах существует возможность выбора передаточной функции регулятора таким образом, что все коэффициенты z- характеристического уравнения замкнутой системы

, (6.1)

за исключением одного, обратятся в ноль и оно примет следующий вид:

. (6.2)

В этом случае соответствующая передаточная функция замкнутой системы примет вид конечного ряда:

, (6.3)

А импульсная передаточная характеристика будет содержать конечное число импульсов.

Поскольку все корни характеристического уравнения (6.2) нулевые, что соответствует бесконечно большим по модулю вещественным составляющим корней р- характеристического уравнения, такие системы получили название систем с бесконечно большой степенью устойчивости. Эти системы позволяют осуществить переход объекта из одного состояния в другое за конечное число интервалов квантования, поэтому их еще называют системами с конечным временем переходных процессов.

Один из способов определения передаточных функций дискретных регуляторов при ступенчатом входном воздействии заключается в следующем.

Имеется замкнутая система автоматического управления с дискретным регулятором (см. рис. 6.1).

Рисунок 6.1 – Система автоматического регулирования с дискретным регулятором

При реализации процессов с конечным временем для дискретной системы справедливы следующие соотношения

для статических систем

для астатических систем.

Допустим, что дискретная передаточная функция объекта регулирования с фиксатором нулевого порядка при заданном шаге квантования Т определена и имеет вид

.

Определим передаточную функцию замкнутой системы в виде

.

где

.

Запишем отношение z-преобразований

где

для статических и

для астатических систем.

Теперь дискретную передаточную функцию объекта можно записать в виде

,

а передаточную функцию дискретного регулятора в виде

.

Сравнивая передаточные функции объекта регулирования, полученные разными способами, находим параметры передаточной функции регулятора

Пример. Дана передаточная функция непрерывного объекта регулирования

.

Определим дискретную передаточную функцию объекта с экстраполятором нулевого порядка при шаге квантования Т=0,2

.

Определяем параметры дискретного регулятора

Передаточная функция дискретного регулятора

.

Структурная схема дискретной системы автоматического регулирования представлена на рисунке 6.2.

Рисунок 6.2 – Структурная схема системы автоматического регулирования

В результате моделирования построен график переходного процесса, приведенный на рисунке 6.3.

Рисунок 6.3 – График переходного процесса в дискретной системе автоматического регулирования

Как видно из рисунка 6.3 переходный процесс в системе заканчивается за три шага управления, что соответствует порядку объекта.

6.2 Порядок проведения работы

6.2.1 Для своего варианта (табл. 1.1) выберите значение периода квантования, заданным преподавателем способом.

6.2.2 Определите настройки дискретного регулятора.

6.2.3 Определите дискретную передаточную функцию замкнутой системы управления.

6.2.4 Постройте переходный процесс в замкнутой дискретной системе.

6.3 Содержание отчета

Отчет о лабораторной работе должен содержать:

7. тему и цель работы;

8. расчет периода квантования;

9. расчет коэффициентов оптимального регулятора;

10. определение передаточной функции дискретного объекта;

11. графики переходных процессов в замкнутой системе;

12. анализ результатов исследования по каждому пункту программы работы и общие выводы о работе.

7 Список литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – М.: Наука, 1975. – 768 с.

2. Теория автоматического управления/Под ред. А.В. Нетушила. – М.: Высш. шк., 1979. – 400 с.

3. Ротач В.Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами. – М.: Энергия, 1986. – 360 с.

4. Дьяконов В.П. Simulink 4. Специальный справочник. – СПб: Питер, 2002. – 528 с.

53