мИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНБАССКИЙ государственный
технический университет (дгми)
В.М. ДАНЬКО
МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ ПО ОМД
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
СПЕЦИАЛЬНОСТИ 6.090400
«ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ»
аЛЧЕВСК, 2ОО6
С о д е р ж а н и е
Предисловие.................................................................................................8 Введение......................................................................................................10
1.1 Задачи курса «Механика сплошной среды»......................................10
1.2 Предмет механики сплошной среды..................................................11
1.3 Методы механики сплошной среды...................................................13
1.4 Основные принципы механики сплошной среды.............................14
1.5 Элементарный объем...........................................................................18
1.6 Переменные Лагранжа и Эйлера.......................................................21
1.7 Движение и равновесие сплошной среды.........................................24
2 Статика сплошной среды....................................................................26 2.1 Напряжение в точке.............................................................................26
2.2 Напряженное состояние в точке..........................................................28 2.3 Соотношения Коши и компоненты напряженного состояния
в точке...................................................................................................32
2.4 Тензор напряжений.............................................................................36
2.5 Доказательство тензорности напряженного состояния*................37
2.6 Условия симметричности тензора напряжений............................... 39
2.7 Доказательство равенства парных касательных напряжений* .....41
2.8 Общий случай напряженного состояния* ........................................44
2.9 Главные напряжения.......................................................................... 45
2.10 Нормальные и касательные напряжения на произвольных
площадках............................................................................................49
2.11 Максимальные касательные напряжения.........................................51
2.12 Шаровой тензор и девиатор напряжений.........................................54
2.13 Изображение напряженного состояния в точке...............................57
2.14 Октаэдрические напряжения и интенсивности напряжений..........59
2.15 Уравнения равновесия....................................................................... 61
2.16 Уравнения равновесия в недекартовых системах координат.........64
2.17 Уравнения равновесия в общем случае*..........................................67
2.18 Краевая задача статики сплошной среды........................................68
3 Кинематика сплошной среды.............................................................71
3.1 Вектор смещения................................................................................71
3.2 Абсолютная и относительная деформации......................................72
3.3 Поле относительных смещений.........................................................74
3.4 Составляющие движения сплошной среды......................................78
3.5 Тензор малых деформаций................................................................80
3.6 Геометрический смысл компонент тензора малых
деформаций.........................................................................................82
3.7 Тензоры конечных деформаций.........................................................84
3.8 Общий случай малых деформаций*.................................................86
3.9 Анализ деформированного состояния в точке.................................89
3.10 Инварианты тензора малых деформаций.........................................90
3.11 Главные деформации.........................................................................92
3.12 Максимальные угловые деформации..............................................94
3.13 Октаэдрические деформации и интенсивности деформаций........96
3.14 Условия совместности деформаций.................................................97
3.15 Определение перемещений по деформациям*..............................101
3.16 Поле скоростей.................................................................................104
3.17 Первая теорема Гельмгольца..........................................................107
3.18 Тензор скоростей деформаций.......................................................108
3.19 Свойства тензора скоростей деформаций.....................................110
3.20 Вторая теорема Гельмгольца*........................................................114
4 Элементы термодинамики сплошных сред...................................119
4.1 Термодинамические системы и параметры состояния.................119
4.2 Законы сохранения...........................................................................122
4.3 Теоремы Э. Нётер и свойства симметрии......................................124
4.4 Закон сохранения массы и уравнение неразрывности..................126
4.5 Вывод уравнения неразрывности*.................................................127
4.6 Теорема «живых сил».......................................................................131
4.7 Первое начало термодинамики........................................................135
4.8 Уравнение теплопроводности...........................................................137
5 Основы теории упругости..................................................................142
5.1 Предмет теории упругости................................................................142
5.2 Обобщенный закон Гука...................................................................145
5.3 Упругое изменение объема и формы...............................................147
5.4 Потенциальная энергия упругого деформирования.......................149
5.5 Постановка задач в теории упругости.............................................151
5.6 Решение задач теории упругости в перемещениях........................153
5.7 Решение задач теории упругости в напряжениях...........................155
5.8 Плоское напряженное состояние*...................................................157
5.9 Плоское деформированное состояние*...........................................161
5.10Плоская задача в моментной теории упругости*...........................163
5.11Функция напряжений*......................................................................165
5.12Способы решения задач теории упругости*...................................168
6 Основы теории пластичности...........................................................178
6.1 Предмет теории пластичности..........................................................178
6.2 Переход в пластическое состояние при одноосном растяжении..179
6.3 Условия пластичности.......................................................................181
6.4 Условие пластичности Треска-Сен-Венана.....................................185
6.5 Условие пластичности Губера-Мизеса............................................189
6.6 Экспериментальная проверка условий пластичности*.................192
6.7 Теории пластичности.........................................................................193
6.8 Теория пластического течения.........................................................196
6.9 Теория малых упруго-пластических деформаций..........................202
6.10 Постулат Друкера и ассоциированный закон течения*................206
6.11 Области применимости различных теорий пластичности............214
6.12 Экстремальные принципы пластического деформирования*.....217
7 Применение теории пластичности в ОМД ...................................226
7.1 Постановка задач при расчетах процессов ОМД...........................226
7.2 Математический аппарат и краевые условия при ОМД...............229
7.3 Способы решения задач теории пластичности..............................232
7.4 Частные виды напряженно-деформированных состояний..........237
7.5 Особенности плоского деформированного состяния................... 243
7.6 Осесимметричное деформированное состояние............................247
7.7 Метод линий скольжения.................................................................254
7.8 Свойства линий скольжения............................................................260
7.9 Простые сетки линий скольжения...................................................263
7.10 Статические граничные условия в МЛС........................................265
7.11 Задача о внедрении штампа в полупространство..........................267
7.12 Основные краевые задачи МЛС*....................................................271
7.13 Определение поля скоростей в МЛС*............................................277
7.14 Полные решения задач плоской деформации................................282
8 Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры
и анализа......................................................................287
8.1 Скаляры и векторы............................................................................287
8.2 Векторный базис................................................................................289
8.3 Сложение и умножение векторов.....................................................290
8.4 Тензоры 2-го ранга.............................................................................292
8.5 Преобразование компонент тензора................................................293
8.6 Сложение и умножение тензоров.....................................................294
8.7 Симметрирование и альтернирование тензоров.............................295
8.8 Умножение тензора на вектор..........................................................297
8.9 Главные оси тензора.........................................................................298
8.10 Определение величины и направления главных компонент тензора...............................................................................................301
8.11 Скалярные, векторные и тензорные поля.......................................301
8.12 Поверхности уровня и градиент скалярного поля.........................302
8.13 Векторные поля и векторные линии...............................................303
8.14 Поток и дивергенция векторного поля.......................................... 305
8.15 Циркуляция и ротор векторного поля.............................................307
8.16
Оператор
(«набла»)......................................................................310
8.17 Дифференциальные операции 2-го порядка..................................311
8.18 Потенциальные векторные поля..................................................... 312
8.19 Соленоидальные векторные поля....................................................314
8.20 Гармонические векторные поля......................................................315
8.21 Основная теорема векторного анализа...........................................316
8.22 Производная и градиент векторного поля......................................317
8.23 Поток тензорного поля.....................................................................319
8.24 Дивергенция тензорного поля.........................................................321
8.25 Производная тензорного поля по направлению............................322
Предметный указатель..........................................................................324
Перечень ссылок.....................................................................................333
п р е д и с л о в и е
Курс "Механика сплошной среды" вместе с курсом «Теория ОМД» образуют теоретический фундамент специальности «Обработка металлов давлением». В настоящее время принято теоретические основы этой специальности для бакалавров излагать как часть механики сплошной среды, поскольку в ОМД используются такие общие для всех разделов этой науки дисциплины, как статика, кинематика и термодинамика. С этих позиций созданы учебники и учебные пособия [1−5], в которых на современном научном уровне и в полном объеме изложены все сведения, необходимые для успешного овладения данной дисциплиной. Однако естественным продолжением достоинств этих учебных изданий являются их недостатки, главный из которых -существенные затруднения, возникающие у студентов при первоначальном знакомстве с большим количеством сложного материала. Простым уменьшением объема и упрощением содержания курса проблема решена быть не может, поскольку научно-технический прогресс требует повышения уровня подготовки специалистов. С другой стороны, уровень теоретической подготовки будущих организаторов производства и будущих научных работников не может быть одинаковым в силу различия в специфике их деятельности. Но так как подготовка этих специалистов ведется совместно, то возникает противоречие: уровень теоретической подготовки будущих кандидатов и докторов наук должен быть высоким и, одновременно, уровень подготовки будущих менеджеров может быть только базисным, достаточным для овладения теорией и технологией ОМД.
Данное учебное пособие является попыткой разрешения этого
противоречия посредством трехуровневого способа подачи материала: в основном тексте курсивом выделяются определения, составлящие базисный объем знаний, минимально необходимый для овладения последующими дисциплинами ОМД. Сведения, необходиые будущим аспирантам (полный вывод сложных формул, доказательства теорем и т.п.), даются в виде отдельных пунктов (помеченных «звездочками»), которые при первоначальном знакомстве с предметом можно опустить. Материал, необходимый для всех, составляет основное содержание текста.
Другой особенностью предлагаемого учебного пособия является стремление связать все основные положения изучаемой дисциплины с фундаментальными законами механики и термодинамики, подчеркнув тем самым единство физической науки.
Во втором издании данного пособия отличается только устранением ошибок и опечаток, обнаруженных в первом издании.
Козину Н.П.
1 в в е д е н и е