6. Визначення напрямків головних напруг

Орієнтація головних напруг у просторі характеризується направляючими косинусами l_i, m_i, n_i, де i – індекс головної напруги.

Для визначення цих косинусів слід використати систему лінійних рівнянь, які знаходять із визначення головного напрямку тензора [1]:

(9)

Наприклад для визначення трійки косинусів l_i, m_i, n_i які характеризують напрям напруги σ_i будемо мати:

(10)

Оскільки в системі однорідних лінійних рівнянь (10) число невідомих дорівнює числу рівнянь, то для її вирішення потрібно одне з рівнянь замінити рівнянням Ейлера:

(11)

Перевірки слід зробити підставивши косинуси обох варіантів у систему (11).

Аналогічно знаходяться по два варіанти для напруг σ₂ і σ₃:

I варіант II варіант

l₂ = – 0,7440 l₂ = + 0,7440

m₂ = – 0,64783 m₂ = + 0,64783

n₂ = + 0,16356 n₂ = – 0,16356

m₃ = + 0,98698 m₃ = – 0,98698

n₃ = + 0,1010 n₃ = – 0,1010

Після проведення перевірки робити вибір варіантів шляхом зведення всіх косинусів в таблицю 3.

Таблиця 3.

	l	m	n
1	±0,88349	±0,42861	±0,18905
2	0,74400	0,64783	±0,16356
3	0,12515	±0,98698	±0,10100

Верхні знаки відносяться до перших варіантів, а нижні – до других.

Для вибору варіанту використаємо умови ортогональності вісей 1, 2, 3.

Наприклад:

Складові взаємно скоротяться, якщо взяти будь який варіант. Вибираємо варіант №1.

7. Розрахунок максимальних і октаедричних напруг та інтенсивностей напруг.

Максимальні тангенціальні напруги в даній точці [3]:

Нормальні напруги на площадках максимальних:

Октаедричні нормальні напруги:

Октаедрична тангенційна напруга:

Інтенсивність нормальних та тангенційних напруг:

8. Розрахунок напруг на довільно орієнтованій площадці

Компоненти вектора повної напруги на площадці, орієнтація якої завдана косинусами l = 0,425, m = –0,643, n = 0.637 можна знайти за допомогою співвідношень Коші:

(12)

В нашому випадку:

Модуль повної напруги:

(13)

Модуль нормальної напруги на довільній площадці:

(14)

Модуль тангенційної напруги:

(15)

Орієнтація тангенційної напруги:

Оскільки квадратичне рівняння (15) не дає знаку напруги σ_ν і він встановлюється по фізичному змісту вирішуваної задачі, то маємо два варіанти орієнтації тангенційної напруги.