§2. Похідні вищого порядку.
Частинними похідними 2-го порядку функції u = f(х1,…,х n) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку , і позначаються вони так :
Наприклад у випадку двох змінних частинні похідні другого порядку позначають так:
Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого ніж другий.
Принцип обчислень частинних похідних вищих (n ) порядків - полягає в послідовному обчисленні кожної наступної похідної з відомої попередньої похідної за правилами диференціювання функцій однієї змінної .
Якщо частинну похідну f 'x , продиференціювати по х , а частинну похідну f y лродиференціювати ло у , отримаємо частинні похідні другого порядку ло х і у . Частіше за все їх позначають таким чином:
fxx = fxx (x; y) = ; f yy = f yy (x; y) = ;
Якщо ж частинну похідну f x продиференціювати по у, а частинну похідну f y продиференціювати по х, отримаємо ще одну пару частинних похідних другого порядку:
f xy = fxy (x; y ) = ; f yx = f yx (y; x ) =
Неважко довести ,що f xy = f yx тобто похідні вищих порядків будуть рівними між собою в тому випадку, якщо вони відрізняються тільки порядком взяття незалежних змінних.
Наприклад. Обчислити та для функції
Розв’язання
§3. Застосування частинної похідної в економіці
В реальних випадках попит на товар може залежати від багатьох факторів, тобто попит - це функція багатьох змінних. Припустимо, для визначеності, що попит на деякий товар Q залежить від ціни P, доходів споживачів Y та ціни альтернативного товару PA . В загальному випадку попит на окремий товар при інших рівних умовах залежить від рівня цін всіх товарів. На практиці , однак, найбільша зацікавленість полягає в з’ясуванні впливу ціни якогось одного товару, який і називають альтернативним. Таким чином, попит - це функція трьх змінних. Q = f (P, PA, Y)
Цікаво: як змінюється попит при зміні цін і доходів. Кількісна відповідь дається за допомогою поняття еластичності.
ЕР - коефіцієнт еластичності ;
Формула еластичносиі попиту від ціни має вигляд:
Знак “мінус” використовується для того , щоб еластичність була додатною.
Якщо E p< 1, то попит нееластичний ,тому сумарний доход буде спадаючою функцією.
Якщо E p> 1 , то попит еластичний ,тому сумарний доход буде зростаючою функцією.
Аналогічно вводиться перехресний коефіцієнт еластичносиі: Формула еластичносиі попиту від ціни альтернативного товару має вигляд
Якщо E A > 0, то товари взаємозамінні
Якщо E A < 0, то товари взаємодоповнюючі
Е У - еластичність попиту від прибутків
Формула еластичносиі попиту від прибутків має вигляд
E Y > 0 , для якісних товарів , попит збільшується з зростанням прибутків
E Y < 0 , для неякісних товарів, з зростанням прибутків попит зменшується
Наприклад: Знайти коефіцієнти еластичності ЕР ,ЕА ,ЕУ, для даної функції попиту Q = f (P, P A, Y) = 100 - 2P + P A + 0,1Y та обчислити знайдені еластичності при Р =10, РА = 12, У = 1000
Розвязання
Обчислимо величину попиту Q при даних значеннях змінних:
Q = f( 10,12,1000) =100 - 2 10 + 12 + 0,1 1000 = 192
Обчислимо частинну похідну по Р :
Обчислимо еластичність попиту від ціни:
Обчислимо частинну похідну по РА :
Обчислимо перехресний коефіцієнт еластичності :
E A >0, тому товари взаємозамінні
Обчислимо частинну похідну по У :
Обчислимо еластичність попиту від прибутку :
E Y >0 , тому з зростанням прибутків попит буде зростати.