ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Курс лекций

по дисциплине:

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Северодвинск

2005 год.

Содержание

Введение 5

Глава 1 Основные понятия. 6

1.1 Вводные понятия. 6

1.2 Непосредственный подсчёт вероятностей 7

1.3 Частота или статическая вероятность. 7

Глава 2 Аксиоматика теории вероятности. Правила умножения и сложения и их свойства. 8

2.1 Элементарные сведения из теории множеств. 8

2.2 Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей. 9

2.3 Комбинаторика. Классические модели. Примеры. 11

2.4 Геометрическая модель. 12

2.5 Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей. 13

2.6 Формула полной вероятности. 15

2.7 Теорема гипотез (Формула Бейеса). 16

Глава 3 Случайные величины, их законы распределения. 17

3.1 Понятие случайной величины. Законы распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины. 17

3.2 Функция распределения случайной величины. Её свойства. 18

3.3 Функция распределения дискретной с. в. Индикатор события. 19

3.4 Непрерывная случайная величина. Плотность распределения. 20

Глава 4 Числовые характеристики случайных величин. 23

4.1 Роль и назначение числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины. 23

4.2 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение. 24

Глава 5 Некоторые важные для практики распределения дискретных с. в. 26

5.1 Аппарат производящей функции. 26

5.2 Испытания Бернулли. 27

5.3 Биноминальное распределение. 27

5.4 Распределение Пуассона. 28

5.5 Геометрическое распределение. 31

5.6 Гипергеометрическое распределение. 32

Глава 6 Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин. 33

6.1 Равномерное распределение. 33

6.2 Показательное распределение. 34

6.3 Нормальное распределение. 36

6.4 Гамма - распределение и распределение Эрлана. 38

Глава 7 Системы случайных величин (случайные векторы). 38

7.1 Понятие о системе случайных величин. 38

7.2 Функция распределения системы двух случ. величин. 39

7.3 Система двух дискретных случ. величин. Матрица распределения. 39

7.4 Система двух непрерывных случ. величин. Совместная плотность распределения. 40

7.5 Зависимые и независимые случ. величины. Условные законы распределения. 41

7.6 Числовые характеристики системы двух с.в. Ковариация и коэффициент корреляции. 42

7.7 Условные числовые характеристики системы случайных величин (Х,У). Регрессия. 43

7.8 Закон распределения и числовые характеристики n-мерного случайного вектора. 45

Глава 8 Основы математической теории выборочного метода. 48

8.1 Понятие о выборочном методе. Способы образования выборочной совокупности. 48

8.2 Характеристики генеральной и выборочной совокупности. 49

8.3 Эмпирическая функция распределения. 50

Глава 9 Статистическое оценивание параметров распределения. 50

9.1 Понятие об оценке параметров. 50

9.2 Основные свойства оценок. 51

9.3 Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке. 52

9.4 Метод наибольшего правдоподобия. 54

9.5 Распределение средней арифметической для выборок из нормальной совокупности. Распределение Стьюдента. 54

9.6 Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение Пирсона. 56

9.7 Понятие доверительного интервала. Доверительная вероятность. 57

9.8 Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной . 58

9.9 Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной . 59

9.10 Построение доверительного интервала для дисперсии. 59

Глава 10 Проверка статистических гипотез. 60

10.1 Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез. 60

10.2 Проверка гипотезы о равенстве центров распределений двух нормальных генеральных совокупностей при известном . 61

10.3 Проверка гипотезы о равенстве центров распределения нормальных генеральных совокупностей при неизвестном . 62

10.4 F-распределение и проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей. 63

10.5 Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия . 64

10.6 Вычисление объёма выборки. 65

Глава 11 Основы дисперсионного анализа. 66

11.1 Основная идея дисперсионного анализа. 66

11.2 Однофакторный комплекс. 66

11.3 Двухфакторный комплекс. 69

11.4 Дисперсионный анализ с равным числом наблюдения в ячейке. 70

11.5 Дисперсионный анализ с неравным числом наблюдений в ячейке. 73

Глава 12 Основы корреляционного анализа. 78

12.1 О связях функциональных, стохастических, статистических и корреляционных. 78

12.2 Определение формы связи. Понятие регрессии. 79

12.3 Поле корреляции. 79

12.4 Линейная регрессия. Понятие о способе наименьших квадратов. 80

12.5 Кривые регрессии. Нелинейная регрессия. 81

12.6 Измерение тесноты связи. Эмпирическое корреляционное отношение. 81

12.7 Коэффициент корреляции. 83

12.8 Интервальное оценивание коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии. 84

12.9 Множественная регрессия. 84

12.10 Коэффициент корреляции рангов. Объединенные ранги. 84