9.9Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной .

Случайная величина Х распределена нормально

неизвестно

Требуется оценить неизвестное

Величина распределена по закону Стьюдента

Выбираем p=1- , зная объём выборки. Из таблицы для получаем значение

• 

Вывод: С вероятностью (надёжностью) p=1- можно утверждать, что интервал является доверительным для оценки мат. ожидания.

Замечание: зависит не только от требуемой вероятности, но и от объёма выборки.

9.10Построение доверительного интервала для дисперсии.

Случ. величина Х нормально распределена

Требуется оценить или по выборочной дисперсии или по исправленной выборочной дисперсии .

Построение доверительного интервала для дисперсии основывается на том, что случ. величина имеет распределение с k=n степенями свободы, а величина - с k=(n-1).

Рассмотрим второй случай:

Выбираем p=1-

• 

выбираются из таблицы для распределения, причем так чтобы площадь, заключенная под дифференциальной функцией распределения между и , была равна 1- .

Как видно из рисунков значения и можно варьировать так, чтобы значение площади оставалось постоянным.

Обычно и выбираются так, чтобы

Таблица содержит лишь , то необходима в формуле замена:

è

è

Вывод: С вероятностью можно утверждать, что интервал

есть доверительный интервал для .

Глава 10Проверка статистических гипотез.

10.1Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез.

Опр. Под статистической гипотезой подразумевается гипотеза, которая относится или к виду, или к отдельным параметрам распределения случайной величины.

Пример: Статистической является гипотеза о том, что распределение производительности труда рабочих, выполняющих одинаковую работу в одинаковых условиях, имеет нормальный закон распределения.

Задача проверки статистической гипотезы в общем виде:

Пусть - закон нормального распределения случ. величины Х, зависящий от одного параметра .

Предположим, что необходимо проверить гипотезу о том, что .

Назовем эту гипотезу нулевой -

- конкурирующая гипотеза - альтернативная гипотеза.

Выборка:

- ряд независимых наблюдений над случайной величиной Х.

Множество выборок объёма n делим на два множества O и W.

O - область, в которой принимается.

W - область, в которой отвергается.

O - область допустимых значений.

W - критическая область.

Замечание: Для нахождения этих областей необходимо найти лишь одну из них. Вторая определяется по первой однозначно.

Опр. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается верная и принимается неверная .

Ошибка второго рода состоит в том, что принимается неверная , и отвергается верная .

Замечание: Вероятности ошибок первого и второго рода однозначно определяются выбором критической области W.

Обозначим:

10.2Проверка гипотезы о равенстве центров распределений двух нормальных генеральных совокупностей при известном .

Средний результат в одной серии экспериментов заметно отличается от среднего результата в другой серии. При этом возникает вопрос, можно ли объяснить обнаруженное расхождение средних случайными ошибками эксперимента или оно вызвано какими-либо незамеченными или даже неизвестными закономерностями ?

В промышленности задача сравнения средних часто возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при разных технологических режимах.

Формулировка задачи:

Случ. величины X и Y подчиняются нормальному закону распределения

и объёмы выборок из X и Y.

и - известны

Лучшие оценки мат. ожидания и

- подчиняется нормальному закону

Если справедлива, то è

-нормированная разность подчиняется нормальному закону распределения

Далее выбираем p=1- и по таблице находим

- область допустимых значений

- критическая область