- •Содержание
- •Введение
- •Глава 1 Основные понятия.
- •1.1Вводные понятия.
- •1.2Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3Частота или статическая вероятность.
- •Глава 2Аксиоматика теории вероятности. Правила умножения и сложения и их свойства.
- •2.1Элементарные сведения из теории множеств.
- •2.2Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей.
- •2.3Комбинаторика. Классические модели. Примеры.
- •2.4Геометрическая модель.
- •2.5Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей.
- •2.6Формула полной вероятности.
- •2.7Теорема гипотез (Формула Бейеса).
- •Глава 3Случайные величины, их законы распределения.
- •3.1Понятие случайной величины. Законы распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины.
- •3.2Функция распределения случайной величины. Её свойства.
- •3.3Функция распределения дискретной с. В. Индикатор события.
- •3.4Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.
- •Глава 4Числовые характеристики случайных величин.
- •4.1Роль и назначение числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины.
- •4.2 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.
- •Глава 5Некоторые важные для практики распределения дискретных с. В.
- •5.1Аппарат производящей функции.
- •5.2Испытания Бернулли.
- •5.3Биноминальное распределение.
- •5.4Распределение Пуассона.
- •5.5Геометрическое распределение.
- •5.6Гипергеометрическое распределение.
- •Глава 6Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин.
- •6.1Равномерное распределение.
- •6.2Показательное распределение.
- •6.3Нормальное распределение.
- •6.4Гамма - распределение и распределение Эрлана.
- •Глава 7Системы случайных величин (случайные векторы).
- •7.1Понятие о системе случайных величин.
- •7.2Функция распределения системы двух случ. Величин.
- •7.3Система двух дискретных случ. Величин. Матрица распределения.
- •7.4Система двух непрерывных случ. Величин. Совместная плотность распределения.
- •7.5Зависимые и независимые случ. Величины. Условные законы распределения.
- •7.6Числовые характеристики системы двух с.В. Ковариация и коэффициент корреляции.
- •7.7Условные числовые характеристики системы случайных величин (х,у). Регрессия.
- •7.8Закон распределения и числовые характеристики n-мерного случайного вектора.
- •Лекции « Теория вероятности и математическая статистика »
- •Раздел 2
- •«Математическая статистика.» Глава 8Основы математической теории выборочного метода.
- •8.1Понятие о выборочном методе. Способы образования выборочной совокупности.
- •8.2Характеристики генеральной и выборочной совокупности.
- •8.3Эмпирическая функция распределения.
- •Глава 9Статистическое оценивание параметров распределения.
- •9.1Понятие об оценке параметров.
- •9.2Основные свойства оценок.
- •1) Несмещенность
- •2) Эффективность
- •3) Состоятельность
- •9.3Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке.
- •9.4Метод наибольшего правдоподобия.
- •9.5Распределение средней арифметической для выборок из нормальной совокупности. Распределение Стьюдента.
- •9.6Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение Пирсона.
- •9.7Понятие доверительного интервала. Доверительная вероятность.
- •9.8 Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной .
- •9.9Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной .
- •9.10Построение доверительного интервала для дисперсии.
- •Глава 10Проверка статистических гипотез.
- •10.1Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез.
- •10.2Проверка гипотезы о равенстве центров распределений двух нормальных генеральных совокупностей при известном .
- •10.3Проверка гипотезы о равенстве центров распределения нормальных генеральных совокупностей при неизвестном .
- •10.5Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия .
- •10.6Вычисление объёма выборки.
- •Глава 11Основы дисперсионного анализа.
- •11.1Основная идея дисперсионного анализа.
- •11.2Однофакторный комплекс.
- •11.3Двухфакторный комплекс.
- •11.4Дисперсионный анализ с равным числом наблюдения в ячейке.
- •11.5Дисперсионный анализ с неравным числом наблюдений в ячейке.
- •Глава 12Основы корреляционного анализа.
- •12.1О связях функциональных, стохастических, статистических и корреляционных.
- •12.2Определение формы связи. Понятие регрессии.
- •12.3 Поле корреляции.
- •12.4Линейная регрессия. Понятие о способе наименьших квадратов.
- •12.5Кривые регрессии. Нелинейная регрессия.
- •12.6Измерение тесноты связи. Эмпирическое корреляционное отношение.
Глава 1 Основные понятия.
1.1Вводные понятия.
Опр. Теорией вероятностей называется математическая наука изучающая закономерности в случайных явлениях.
Опр. Под опытом (экспериментом, испытанием) - мы будем понимать некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.
Опр. Опыт со случайным исходом - это опыт результат которого варьируется при его повторении.
Именно такие опыты мы будем здесь рассматривать, а по этому договоримся опускать словосочетание “со случайным исходом“.
Опр. Случайным событием называется всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти.
Примеры: 1. Опыт - подбрасывание монеты
событие А - появление герба.
2. Опыт - подбрасывание трёх монет
событие В - появление трёх герб.
3. Опыт - выстрел в мишень
событие С - попадание в мишень.
4. Опыт - три выстрела в мишень
событие D - три попадания в мишень
5. Опыт - вынимание наугад одной карты из колоды
событие Е - вынимание туза.
Рассматривая перечисленные примеры событий А...Е мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности - одни большей, другие меньшей. Сразу же мы можем сказать, что степень возможности в случае 1 больше чем в случае 2, а в 3 - чем 4: явно легче поразить один раз мишень чем три.
Но вот для сравнения степени возможности событий А и С или С и Е нужно что-то ещё.
Чтобы сравнить между собой события по степени их возможности нужно связать с каждым из них какое-то число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы и назовём вероятностью события.
Поверхностное определение вероятности:
Вероятность события - это число характеризующее степень возможности события.
Опр. Достоверным событием называется событие, которое в результате опыта неизбежно должно произойти.
Пример: выпадение на грани игральной кости не более шести точек.
Опр. Невозможным событием называется событие которое в данном опыте вообще не может произойти.
Пример: Выпадение на грани игральной кости семи.
Припишем невозможному событию вероятность (Нс), равную нулю, а достоверному вероятность равную единице (Дс).
Выше рассмотрены два крайних по степени возможности (вероятности) события, поэтому вероятность любого события (Лс) должна находиться между вероятностями невозможного и достоверного событий.
1.2Непосредственный подсчёт вероятностей
Первоначальное своё развитие теория вероятности получила ещё в XVII веке на материале азартных игр, которые поколениями вырабатывались именно так чтобы результат опыта не зависел от поддающихся контролю его условий (рулетка, кости, карточные игры). Но слишком много людей были заинтересованы в этих играх, и слишком большие деньги там задействованы были. Тем самым необходим был математический аппарат, который бы давал точные выводы о случайных событиях.
Как и любая другая естественная наука в основу были поставлены опыты и наблюдения, на основе результатов которых и были сделаны первые расчёты вероятности случайных событий. Методика расчёта вероятности изложенная в следующем параграфе и положена в основу математической статистики.