Глава 12Основы корреляционного анализа.

12.1О связях функциональных, стохастических, статистических и корреляционных.

В природе всё взаимосвязано. Связи между различными явлениями сложны и многообразны. При изучении мы их классифицируем.

В технике и естествознании речь часто идет о функциональной зависимости.

Опр. Функциональной называется зависимость между переменными x и y, когда каждому значению х поставлено в однозначное соответствие определённое значение у.

Пример: Зависимость между р и V газа. (Закон Бойля-Мариотта).

В реальном мире многие явления происходят в обстановке действия многочисленных факторов, влияние каждого из которых ничтожно, а число их велико. В этих случаях связь теряет свою строгую функциональность и изучаемая физическая система переходит не в определённое состояние, а в одно из возможных для неё состояний.Здесь речь может идти лишь о так называемой стохастической связи.

Опр. Стохастической называется связь, состоящая в том, что одна случайная переменная реагирует на изменение другой изменением своего закона распределения.

В практике статистических исследований часто рассматривается частный случай стохастической связи, называемой статистической.

Опр. Статистической называется связь, состоящая в том, что условное мат. ожидание одной случайной величины является функцией значения, принимаемого другой случайной величиной, т.е.

M(Yx)=f(x)

Замечание: Поскольку понятие статистической зависимости относится к осредненным условиям, прогнозы не могут быть безошибочными. Применяя некоторые вероятностные методы, можно вычислить, что ошибка не выйдет за некоторые рамки.

Для определения статистической связи нужно знать:

у словное мат. ожидание

аналитический вид двумерного распределения (Х,Y)

Сделав это по небольшой по объёму выборке, мы можем прийти к серьёзным ошибкам.

Поэтому идут на упрощение, переходя от условного мат. ожидания к условному среднему значению,т.е.

- мат. ожидание Y при условии Х=х

Опр: Зависимость между одной случайной переменной и условным средним значением другой случайной переменой называется корреляционной зависимостью.

Замечание: Вопрос о том, что принять за зависимую переменную, а что за независимую, следует решать применительно к каждому конкретному случаю.

12.2Определение формы связи. Понятие регрессии.

Определить форму связи – это значит выявить механизм получения зависимой случ. переменной.

При изучении статистических зависимостей форму связи можно характеризовать функцией регрессии (линейной, квадратичной, показательной и т.д.)

Опр. Условное мат. ожидание случ. переменной Y, рассматриваемое как функция х, т.е.

называется функцией регрессии случ. переменной Y по Х и наоборот.

Пример.

Точность прогноза определяется дисперсией условного распределения:

или

Пример.

Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости пользуются понятием кривой регрессии.

Опр. Кривой регрессии Y по Х называется условное среднее значение случ. переменной Y, рассматриваемой как функция от х,т.е.

Средняя погрешность прогноза по кривой регрессии определяется мат. ожиданием квадрата разности между измеренной величиной и вычисленной по формуле кривой регрессии:

Ошибка минимальная при минимальности , что соответствует тому, когда