2.4. Механика твердого тела Момент инерции материальной точки

J = mr²,

где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения.

Момент инерции системы (тела)

,

где r_i – расстояние материальной точки массой m_i до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс

.

Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m – масса тела) представлены в таблице.

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	То же
Прямой тонкостенный стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
То же	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Теорема Штейнера

J = J_c + ma²,

где J_c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; J – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса вращающегося тела.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

W_Kвр ,

где J_z – момент инерции тела относительно оси z;  – его угловая скорость.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

,

где m – масса тела; _с – скорость центра масс тела; J_c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;  – угловая скорость тела.

Момент силы относительно неподвижной точки

,

где – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы .

Модуль момента силы

M = Fl,

где l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

Работа при вращении тела

,

где d – угол поворота тела; M_z – момент силы относительно оси z.

Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

,

где r_i – расстояние от оси z до отдельной частицы тела; – импульс этой частицы; J_z – момент инерции тела относительно оси z;  – его угловая скорость.

Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

; ,

где  – угловое ускорение; J_z – момент инерции тела относительно оси z.

Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы

.

Напряжение при упругой деформации тела

,

где F – растягивающая (сжимающая) сила; S – площадь поперечного сечения тела.

Относительное продольное растяжение (сжатие)

,

где l – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.

Относительное поперечное растяжение (сжатие)

,

где d – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня.

Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) и относительным продольным растяжением (сжатием) 

,

где  – коэффициент Пуассона.

Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

,

где Е – модуль Юнга.

Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) тела

,

где V – объем тела.