методички / 4046 ЭИ

тяжести сложных инженерных конструкций, используют различные экспериментальные методы, к которым следует отнести метод подвешивания и метод взвешивания. Первый из этих методов используется в ходе выполнения данной лабораторной работы. Следует отметить, что в настоящее время благодаря применению систем трехмерного моделирования при проектировании изделий имеется возможность определить положение центра масс детали или собранной конструкции в целом еще на стадии проектирования средствами программного пакета. Такими возможностями обладают все пакеты трехмерного моделирования, нашедшие применение в инженерной практике,

например AutoCAD, SolidWorks, Компас 3D и т.п.

Лабораторная работа выполняется на установке ТМт-04, внешний вид которой изображен на рис. 6.

Рис. 6. Внешний вид установки ТМт-04

На штатив установки подвешиваются выданные преподавателем фигуры. Отвес, состоящий из линейки с прорезью и груза на конце, прижимается к фигуре с предварительно наклеенным на нее листом бумаги, при этом ни отвес, ни фигура не должны сместиться. Затем аккуратно проводится отвесная линия. Такая же операция проводится при подвешивании фигуры за другой угол. Точка пересечения линий отвеса представляет собой положение центра тяжести данной фигуры.

Порядок выполнения работы

Расчетная часть

1.Получить от преподавателя и начертить в отчете чертеж выданной фигуры.

2.Измерить и нанести на чертеж размеры фигуры.

3.Пользуясь методом разбиения, разбить фигуру на простые элементы.

21

4.Измерить на чертеже координаты центров масс полученных элементов относительно произвольно выбранной системы координат (рекомендуется совместить начало системы координат с левым нижним углом фигуры). Записать в таблицу 1.

5.Определить площадь каждого элемента. Записать в табл. 1.

			Таблица 1
№ элемента	Координата xi	Координата yi	Площадь Si

1.

6. Пользуясь приведенными выше уравнениями вычислить координаты центра масс выданной фигуры в выбранной системе координат. Записать в табл. 2.

						Таблица 2
Расчетные координаты центра			Координаты центра масс		Погрешность эксперимента
	масс		согласно эксперименту
xC, мм		yC, мм	xС, мм	yC, мм	δx, %	δy, %

Экспериментальная часть

1.Наклеить чистый лист бумаги на лицевую сторону фигуры.

2.Подвесить фигуру на штативе за специальное отверстие в фигуре.

3.Зафиксировать отвес штатива, сместив его к фигуре, не допуская смешения последней.

4.Прочертить вертикальную линию вдоль паза отвеса.

5.Подвесить фигуру за другой конец и повторить операции по нанесению на лист отвесной линии.

6.Определить точку пересечения линий и найти ее координаты в соответствии с принятой ранее системой координат. Записать в таблицу.

7.Сравнить полученные результаты, определив погрешность определения координаты экспериментальным путем для каждой оси в отдельности. Найденные погрешности записать в таблицу 2.

8.Сделать выводы по работе.

9.Подготовиться к защите, ответив на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1.Дать определение центра тяжести твердого тела.

2.Какие расчетные методы применяются при определении центра тяжести?

3.Какими экспериментальными способами можно найти центр тяжести тела?

4.Для чего нужно знать координаты цента тяжести инженерных конструкций?

22

Лабораторная работа № 4

ИЗУЧЕНИЕ СПОСОБОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Цель работы: научиться определять уравнение траектории точки по известным уравнениям движения; получить навыки построения траектории по ее уравнению, а также фактическую траекторию по уравнениям движения; определить параметры движения точки, убедиться, что вектор скорости направлен по касательной к траектории, а вектор полного ускорения направлен внутрь кривой под острым углом к радиусу; определить радиус кривизны траектории в заданной точке.

Теоретические сведения

Непрерывную кривую, которую описывает точка при своем движении в пространстве, называют траекторией точки. Если траектория – кривая линия, то движение точки называется криволинейным, частным случаем которого является движение точки по прямой линии, то есть прямолинейное движение. В дальнейшем будет рассматриваться общий случай движения точки.

Исходя из того, что основными пространственно-временными (кинематическими) характеристиками движения точки являются ее положение, скорость и ускорение, то задачами кинематики являются:

-нахождение способа задания движения точки;

-исходя из этих способов разработка методов определения ее траектории, скорости

иускорения.

Движение точки по отношению к выбранной системе отсчета считается заданным, если известен способ, позволяющий определить положение точки в любой момент времени. Следовательно, задать движение точки – это значит указать способ, позволяющий в любой момент времени определить ее положение по отношению к выбранной системе отсчета. Известны три способа задания движения точки: векторный; координатный; естественный.

ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ. Проведем из некоторой точки тела отсчета (рис. 1) в движущуюся точку М радиус-вектор r . Тогда положение точки М будет вполне определено, если ее радиус-вектор r известен как функция времени t. Зависимость

		(1)
r	r (t)

называется законом (уравнением) движения точки в векторной форме.

23

Рис. 1

Скорость точки в данный момент времени, которую обозначим v , равна первой производной по времени от ее радиуса-вектора

		d r
v					r ,			(2)
		dt

а вектор скорости направлен по касательной к траектории в данной точке.

Ускорение точки, которое обозначим a , характеризует быстроту изменения вектора скорости по модулю и направлению, то же является векторной величиной и равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от ее радиуса-вектора

		d v			d 2 r
a								r .			(3)
		dt			dt 2

Вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости ее траектории.

КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ. Свяжем с телом отсчета некоторую систему координат. Наиболее часто используют прямоугольную декартову систему координат, в которой положение точки задается ее линейными параметрами – координатами x, y ,z (рис. 1). Способ задания движения, заключающийся в задании координат точки как известной функции времени t, называется координатным способом

задания движения. Зависимость координат от	времени, то есть
x = f (t),	y = y(t), z = z(t),	(4)

называется уравнениями или законом движения точки в координатной форме. Из уравнений (4) можно получить уравнение траектории точки, если исключить из них время.

24

При этом способе задания движения модуль скорости точки определяется через ее проекции на оси декартовых координат в виде

v v 2		v 2	v 2 .		(5)
	x	y	z

Здесь проекции вектора скорости на оси координат определяются как первые производные по времени от соответствующих координат, то есть по формулам:

v

dx

x,

v

dy

y,

v

dz

z .

(6)

x

dt

y

dt

z

dt

Направление вектора скорости задается направляющими косинусами:

v

vy

v

cos(v, x)

x

,

cos(v, y)

,

cos(v, z)

z

.

(7)

v

v

v

Аналогично определяется и модуль ускорения точки:

a a2		a2	a2	,	(8)
	x	y	z

где проекции ускорения точки на оси координат определяются первыми производными по времени от соответствующих проекций скорости или вторыми производными по времени от соответствующих координат:

a

dv

x

d 2 x

x,

a

dvy

d 2 y

y,

a

dv

z

d 2 z

z .

(9)

x

dt

dt 2

y

dt

dt 2

z

dt

dt 2

Направление вектора ускорения также определяется направляющими косинусами

a

ay

a

cos(a, x)

x

,

cos(a, y)

,

cos(a, z)

z

.

(10)

a

a

a

ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ. Этот способ применяют,

когда траектория точки известна. Траекторию точки выбирают за криволинейную ось s, отметив на ней неподвижную точку О, которую принимают за начало отсчета, а также положительное и отрицательное направление отсчета (рис. 2). Положение движущейся точки М на траектории однозначно определяется криволинейной координатой s, равной длине дуги ОМ, взятой с соответствующим знаком.

25

Зависимость координаты s от времени t, то есть

s=s(t),

(11)

называется уравнением или законом прямолинейного движения точки прямолинейного движения будет

движения точки М в естественной форме. В случае вдоль оси Ox, координата s = x и законом

x= f(t).

(12)

	Алгебраическая величина скорости точки в данный момент времени			равна первой
	производной от координаты s по времени t:
	v	ds	s .	(13)
		dt

Направлен вектор скорости по касательной к траектории. Если знак v положителен, то вектор v направлен в положительном направлении отсчета координаты s, в противном случае – в противоположном.

Ускорение точки при естественном способе задания движения определяют по его проекциям на ортогональные естественные оси координат M nb , имеющие начало в точке М и движущиеся вмести с нею (рис. 2).

Рис. 2

Ось M направлена вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета координаты s и называется касательной осью; ось Mn – по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb перпендикулярна двум первым и образует с ними правую систему координат. Ось Mn

26

называется главной нормалью, ось Mb называется бинормалью; , n,b – единичные векторы соответствующих осей.

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости, то проекция вектора ускорения a на бинормаль равна нулю, т. е. аb = 0. Проекция вектора ускорения на касательную ось равна первой производной по времени от алгебраического значения скорости или второй производной по времени от дуговой координаты:

			2
a		dv		d s		s .	(14)
		dt		2
				dt
Это ускорение называют касательным или тангенциальным ускорением.
Вектор касательного ускорения	a a .					Если a	положительно, то вектор a

совпадает с направлением вектора , т. е. направлен в сторону возрастания дуговой координаты s.

Касательное ускорение может быть получено из проекций полного ускорения на оси координат:

a				dv				vx ax	vy ay	.	(15)
				dt					v
Проекция вектора ускорения на главную нормаль называется нормальным
ускорением и определяется выражением
		a				v2		,			(16)
			n

где – радиус кривизны траектории в данной точке кривой. Если траектория – окружность радиуса R, то = R; если траектория – прямая линия, то равно бесконечности. Вектор нормального ускорения an an n всегда направлен в сторону вогнутости траектории. Ускорение точки равно a a an и изображается диагональю

параллелограмма, построенного на составляющих a				и an . Так как эти составляющие
взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения определяется формулой
a a2		a2 .		(17)
		n

27

Порядок выполнения работы

1. Получить вариант от преподавателя и выбрать задание из табл. 1.

				Таблица 1
	Номер	Уравнения движения		t1, c
	условия	x=x(t), см	y=y(t), см
	1	–2t2 + 3	–5t	0,5
	2	4cos2( t/3) + 2	4sin2( t/3)	1
	3	–cos ( t2/3) + 3	sin( t2/3) – 1	1
	4	4t + 4	–4/(t + 1)	2
	5	2sin( t/3)	–3cos( t/3) + 4	1
	6	3t2 + 2	– 4t	0,5
	7	3t2 – t + 1	5t2 – 5t/3 – 2	1
	8	7sin( t2/6) + 3	2 – 7cos( t2/6)	1
	9	– 3/(t+2)	3t + 6	2
	10	– 4cos( t/3)	– 2sin( t/3) – 3	1
	11	– 4t2 + 1	– 3t	0,5
	12	5sin2( t/6)	– 5cos2( t/6) – 3	1
	13	5cos( t2/3)	– 5sin( t2/3)	1
	14	– 2t – 2	– 2/(t + 1)	2
	15	4cos( t/3)	– 3sin( t/3)	1
	16	3t	4t2 + 1	0,5
	17	7sin2( t/6) – 5	– 7cos2( t/6)	1
	18	1 + 3cos( t2/3)	3sin( t2/3) +3	1
	19	– 5t2 – 4	3t	1
	20	2 – 3t – 6t2	3 – 3t/2 – 3t2	0
	21	6sin( t2/6) – 2	6cos( t2/6) + 3	1
	22	7t2 – 3	5t	0,25
	23	3 – 3t2 + 1	4 – 5t2 +5t/3	1
	24	– 4cos( t/3) – 1	– 4sin( t/3)	1
	25	– 6t	– 2t2 – 4	1
	26	8cos2( t/6) +2	– 8sin2( t/6) – 7	1
	27	– 3 – 9sin( t2/6)	– 9cos2( t/6) + 5	1
	28	– 4t2 + 1	– 3t	1
	29	5t2 + 5t/3 – 3	3t2 + t + 3	1
	30	2cos( t2/3) – 2	– 2sin( t2/3) + 3	1

2. Получить уравнение траектории, исключив время из уравнений движения. Проанализировать полученное уравнение на соответствие каноническим уравнениям плоских кривых. Определить тип траектории.

28

3.Определить область определения и область допустимых значений уравнения траектории как алгебраической функции.

4.Составить таблицу значений зависимости y(x) или x(y) в соответствии с ООФ и

ОДЗ.

5.Построить график функции на миллиметровой бумаге в соответствии с масштабом.

6.Определить истинную траекторию точки, заполнив таблицу зависимости координат x(t) и y(t). Отметить на траектории начальную и конечную точки. Для проверки правильности построения истинной траектории можно построить ее, используя гладкие графики Excel (по указанию и под контролем преподавателя).

7.Определить угол наклона касательной к траектории, определив значение производной функции траектории при значении аргумента, соответствующего конечному положению точки. Провести касательную к конечной точке движения на графике траектории.

8.Определить уравнения скорости точки вдоль координатных осей, найдя производные по времени от уравнений движения. Подставляя заданное время, вычислить значения скорости точки, определить модуль полной скорости по теореме Пифагора. Определить угол между вектором скорости и осями координат. Сравнить полученное значение с углом наклона касательной к траектории в конечной точке.

9.В выбранном масштабе отложить параллельно осям координат вычисленные проекции скорости на оси координат и найти вектор полной скорости графическим способом. Убедиться в правильности действий – вектор скорости должен быть коллинеарным с касательной к траектории.

10.Определить уравнения ускорения точки в проекции на координатные оси, найдя вторые производные по времени от уравнений движения. Подставляя заданное время, вычислить значения ускорения точки, определить модуль полного ускорения по теореме Пифагора.

11.Используя угол между вектором скорости и осями координат, вычислить проекцию полного ускорения на касательную к траектории – т.е. тангенциальное ускорение.

12.Используя теорему Пифагора, полное и тангенциальное ускорения, вычислить нормальное ускорение.

13.По формуле нормального ускорения вычислить радиус кривизны траектории.

14.Сделать вывод по работе.

29

Лабораторная работа № 5

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: исследовать зависимость периода колебаний математического маятника от различных величин; научиться определять экспериментальным путем ускорение свободного падения материального тела вблизи поверхности Земли с помощью математического маятника.

Теоретические сведения

Математический маятник представляет собой механическую систему, состоящую из точечной массы (материальной точки), связанной при помощи гибкой нерастяжимой нити или невесомого стержня с неподвижным основанием (рис. 1). Указанная система находится в поле сил тяготения и, будучи выведенной из состояния равновесия совершает, гармонические колебания.

Рис. 1. Математический маятник

Дифференциальное уравнение вращательного движения математического маятника вокруг точки подвеса имеет вид:

J G h 0,

где J = m L2 – момент инерции материальной точки относительно точки подвеса, G = m g

– сила тяжести, h = L sin(φ) – плечо силы тяжести относительно точки подвеса. Учитывая это, получаем:

mL2 mgL sin 0 ,

или, после сокращения:

Lg sin 0 .

30